Système complexe

l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1.7 Exercices .

donc les deux solutions complexes conjuguées suivantes : z' = 1 + i 3 = 2 e i p 3 et z" = 1 - i 3 = 2 e -i p 3 2. On a : (z')2004 = 22004 e i 2004 p 3 = 22004 e i 668p = 22004 Partie B 1. Les nombres complexes z' et z" ont un module égal à 2. Donc les distances OA et OB sont égales à 2. Les points A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 2. y O' 3 A B' ® j -2 -1 O ® i I 1 2 x - 3 B 2. En utilisant l'écriture complexe de r1 : BAC S 2004 -

V = 2π est appelé le module du vecteur d’onde qui s’exprime en m−1 . λ On utilise très souvent la notation complexe d’une onde progressive sinusoïdale : la forme suivante qui permet de mettre en évidence la double périodicité (dans le temps et dans l’espace) : ¶¸ ∙ µ x t − s (x, t) = S0 cos 2π T λ s (x, t) = S0 ei(ωt−kx) s (x, t) = S eiωt où S = S0 e−ikx représente l’amplitude complexe de l’onde progressive sinusoïdale. Le module S0 de S est l’amplitude de l’onde tandis que son argument −kx

variant en fonction du temps La Transformation de Fourier n’est pas adaptée à l’analyse des signaux non stationnaires LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 8/6 Série de Fourier d’une fonction périodique Si x(t) est une fonction complexe de variable complexe périodique de période 1 on a: 1 x(t) = a0 + 2 k=∞ (ak cos(2kπt) + bk sin(2kπt)) k=1 (1) Les coefficients ak et bk sont calculés par: ak = 2 bk = 2 1 0 x(t)cos(−2kπt)dt 1 0 x(t)sin(−2kπt)dt (2) LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES

l'occasion Chef de département . SOMMAIRE INTER-ACTIF cliquez directement sur les sujets! L'auteur Page 1 L'auteur Contexte le rôle d'enquêteur Page 2 rôle du technicien en électronique OUTILS pour l'enquêteur Page 4 outils théoriques impédances complexes Page 5 association d'impédances Page 6 calculs avec les impédances Page 7 8 nœuds maille superposition , exercicespage 8 Page 9 outils graphiques le plan X Y , droite de charge Page 10 11 12 outils pratiques alims , voltmètres oscilloscope OBJETS

résistif E F G H En utilisant la notation complexe, la puissance complexe fournie par le générateur est : I p= avec u = ZU · i et i= Eg Eg = ZU + Z g RU + Rg + j X U + X g J Nous déduisons l’expression de la puissance complexe : p= Z · i · i∗ = 2 2 E2 g RU + Rg 2 K + XU + X g 2 (RU + j X U ) L M N La puissance moyenne (active) fournie à la charge est donnée par la partie réelle de la puissance complexe. Nous obtenons : Pacti ve = R (P) = E2 g 2 RU

résistif E F G H En utilisant la notation complexe, la puissance complexe fournie par le générateur est : I p= avec u = ZU · i et i= Eg Eg = ZU + Z g RU + Rg + j X U + X g J Nous déduisons l’expression de la puissance complexe : p= Z · i · i∗ = 2 2 E2 g RU + Rg 2 K + XU + X g 2 (RU + j X U ) L M N La puissance moyenne (active) fournie à la charge est donnée par la partie réelle de la puissance complexe. Nous obtenons : Pacti ve = R (P) = E2 g 2 RU

élémentaires II Mécanismes réactionnels Capacités à maîtriser à l’issue de ce chapitre : Distinguer l’équation chimique symbolisant une réaction chimique de l’équation traduisant un acte élémentaire Distinguer un intermédiaire réactionnel d’un complexe activé (état de transition) Tracer le profil énergétique correspondant à un acte élémentaire ou à plusieurs actes élémentaires successifs Chapitre 3 : Réactions composées I 1) 2) Cas général de réactions simultanées Cas des mécanismes

infinies. 2. Ecrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d’entiers naturels (x, y) vérifiant : x2 − 13y 2 = 1 . (I) y 200 3. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d’entiers naturels (x, y) solutions du système (I). On ne demande pas d’écrire le programme sur la copie. Problème : matrices «toutes-puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices

apportée à ce texte sera la bienvenue. ii iii Notations et identités remarquables N = ensemble des entiers naturels Z = ensemble des entiers relatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels C = ensemble des nombres complexes ∃ ∀ ∈ ≤ ≥ “ il existe ” “ pour tout ” “ appartient ” “ plus petit ou égal ” “ plus grand ou égal ” (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a − b)(a + b) = a2 − b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + a b + b2 ) n