Projection orthogonale

n i=1 (Xi ¯ n(Xn −µ) Sn ¯ − Xn )2 ∼ t(n − 1). • Th´or`me de Cochran : si Y = (Y1 , . . . , Yn ) ∼ Nn (0, In ) et E1 , . . . , Ep est e e une d´composition de Rn en p sous-espaces orthogonaux de dimensions respectives e d1 , . . . , dp (d1 + . . . + dp = n), alors les projections orthogonales YEj , 1 ≤ j ≤ p de Y sur ces sous-espaces sont ind´pendantes et |YEj |2 ∼ χ2 (dj ). e 96 CHAPITRE 6. VECTEURS GAUSSIENS Chapitre 7 Estimation de param`tres e Le statisticien travaille

nuage de points. On cherche donc des espaces de dimensions réduite qui ajustent au mieux le nuage de points. La méthode consiste à projeter le nuage de points en minimisant les déformations des distances inhérentes à la projection. Cela revient à choisir l’espace de projection F qui maximise le critère : i=1nj=1npipjd2(i,j). Le sous-espace recherché est tel que la moyenne des carrés des distances entre points projetés est maximale, c’est-à-dire qu’il faut que l’inertie du nuage projeté soit maximale

sont possibles sous le nom Mode Transversal Électromagnétique (Transverse Electromagnetic Mode ) ou TEMx y . Les indices x et y, entiers positifs, dénombrent les zones d’intensité le long des deux axes x et y perpendiculaires à la direction de projection z. Ces indices transversaux représentent les modes transversaux du laser. La figure 1 représente la distribution d’énergie dans la section du faisceau pour les premiers modes. Le faisceau laser de mode fondamental (TEM00 ) possède une distribution

(Centre instantané de rotation). Tous les vecteurs vitesse de ce mouvement sont perpendiculaires à la droite joignant leur origine et le C.I.R. 2.5 Equiprojectivité des vecteurs vitesse Quel que soit le mouvement entre 2 solide, les projections orthogonales de 2 vecteurs vitesse quelconques de ce mouvement sur l’axe joignant leurs origines sont identiques. On dit qu’il y a équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse. 3 - Torseur cinématique 3.1 Définition Le torseur cinématique permet

de demi-satellite Rinkeby Tensta est exprimé plus fort que dans le premiers semi-satellites. La système de rue est différencié. Les tout bâtiment ont le même hauteur (6 étages). Ils se sont unifiés en lignes parallèles et organisent les groupes orthogonaux. La densité est plus forte. Les architectes ont proclamé la tâche – la création d’espace qui va connecter la concentration urbaine et la régularité avec le vaste espace de village. Mais la densité et la simplicité rigide d’organisation de groups

1. 37. Rotation et translation 38 1. 38. Second degré et rotation 40 1. 39. 3ème degré et rotation 41 1. 40. 3ème degré, rotation, homog. Asie 2005 - 5 pts 42 1. 41. Pentagone régulier, EPF 2001 43 1. 42. 3 ème degré, Pondicherry 2003 44 1. 43. Projection sur droite, N. Calédonie 2005 - 5 pts 46 1. 44. Rotation, Pondicherry 2005 - 5 pts 47 1. 45. Rotations, Centres étrangers 1999 49 1. 46. Des carrés 51 1. 47. Triangle et spirale, Pondicherry 2006 - 5 pts 53 1. 48. Triangle rectangle 54 1. 49. Recherche

coordonnées des vecteurs. Proposition : Soit (d ) la droite du plan d'équation cartésienne ax + by + c = 0 , passant par le point A et de vecteur normal n ; la distance d'un point M (α; β) à la droite (d ) est la longueur MH orthogonale où H est la projection orthogonale de M sur (d ) On a alors MH = AM . n aα + bβ + c = n a2 + b2 (d ) est la A H (d ) n M Démo : La distance de M à la droite longueur MH . On nomme n(a; b) un vecteur normal à la droite (d ) d'équation ax

facteurs et axes factoriels-Coordonnées des observations dans l’espace factoriel. Soient { Fα (i ) i ∈ I } les facteurs associés à l’analyse en composantes principales normées. Les facteurs sont de moyenne nulle, de variance égale à λα , et sont deux orthogonaux. En effet : ∑ ⎨ M Fα (i) i ∈ I ⎬ = 0 ⎩ ⎭ λα = ∑ ⎨ et ⎧ mi ⎧ mi 2 ⎫ Fα (i ) i ∈ I ⎬ ⎩M ⎭ ⎫ ⎧ mi ⎫ ∑ ⎨ M Fα (i) Fβ (i) i ∈ I ⎬ = 0 ⎩ ⎭ variables. Et donc : si α ≠ β On sait déjà que la somme de toutes les valeurs propres est

(y)) = λd(x, y), o` u λ ∈ R∗+ est une constante qui s’appelle le rapport de la similitude f . Une similitude de rapport 1 s’appelle une isom´etrie. Exemples : une translation, une rotation (autour d’un point selon un angle donn´e), une sym´etrie (orthogonale par rapport ` a une droite), une homoth´etie sont des similitudes ; ce sont des isom´etries sauf les derni`eres. Les figures suivantes sont semblables deux ` a deux (il existe une similitude du plan qui transforme l’un en l’autre). Remarque : l’ensemble

¨ § ¥ ¦Ex-M6.1 Moments des forces et condition d’équilibre [d’après Concours Mines-Ponts] Soit un fil inextensible et sans masse, fixé en A à une socle horizontal AB (de longueur a), et passant en B sur une pou- lie parfaite, de très petites dimensions. En un point M , tel que AM = a, est fixée une masse ponc- tuelle m et, au bout du fil, est aussi accrochée une masse m′ en N . Le dispositif est placé verticalement dans le champs de pe- santeur −→g . g A M (m) N (m’) B a a θ ek 1) Établir