Projection orthogonale

des vecteurs. Si on pose  le repère sera noté  avec  deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas  est l’axe des abscisses et est l’axe des ordonnées. Exemples :Cas particuliers :Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal. Si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en O (c'est-à-dire si OI = OJ et (OI) (OJ)) alors le repère est dit orthonormal (ou orthonormé).Exemple de repère orthonormal :avec . 2. Coordonnées d'un point Propriété Dans un repère 

|6356911,9461 |297,00000 |0,08199188998 | |WGS84 |IAG GRS 1980 |6378137,0 |6356752,314 |298,257222 |0,08181919106 | Les projections L’objectif des projections cartographiques est d’obtenir une représentation plane du modèle ellipsoïde de la surface de la Terre. L’intérêt majeur réside alors dans les valeurs métriques beaucoup plus facilement exploitables, en particulier pour les mesures

document. Cette disposition est appelée « projection orthogonale » (exemple ci-contre). L’échelle : L’échelle est indiquée dans le cartouche. Exemples : "Ech 1 : 2" (les dimensions réelles sont divisée par 2 si par exemple la pièce est grande par rapport au format du papier) " Ech 3 :1" (les dimensions réelles sont multipliées par 3 pour avoir un grand dessin sur le papier) Vue de dessous Vue de droite Vue de face Vue de gauche Vue de dessus MÉTHODE DE PROJECTION : Deux normes peuvent être utilisées

y) + y x+y 2 − x 2 x+y 2 − x−y 2 − y 2 2 Vecteurs orthogonaux Soit ( x, y) ∈ E2 , on dit que ces deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ( x| y) = 0. Parties orthogonales – Orthogonal d’une partie c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. ∀( x, y) ∈ A × B, ( x| y) = 0 A⊥ = { x ∈ E/∀ y ∈ A, ( x| y) = 0} x, y : deux vecteurs respectivement de A et de B A, B : deux parties orthogonales de E A⊥ : orthogonal de la partie A Inégalité de Bessel n ∑ j=1 |(e j | x)|2

dente. Pour contourner ce probl` me, on utilise la e e e e repr´ sentation normale des droites. Cette repr´ sentation, de param` tres ρ et θ, ob´ it a l’´ quation e e e e ` e x cos θ + y sin θ = ρ . ´ Cette equation repr´ sente le produit scalaire (projection) entre les vecteurs V = e −→ − OM = (2.4.3) cos θ sin θ et cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 x . Ainsi l’ensemble des points M d’une droite se projettent sur un mˆ me vecteur e y particulier de coordonn´ es polaires (ρ, θ) . Les cas de

py r En appliquant le principe que la lumi`ere parcourt le trajet le plus rapide, retrouver la loi de Descartes de r´efraction de la lumi`ere : n1 sin i1 = n2 sin i2 . Co Exercice 4. Le but de l’exercice est de prouver le th´eor`eme de projection convexe : Soit C un sous-ensemble convexe ferm´e non vide de Rn . Donn´e u ∈ Rn il existe un unique point PC (u) ∈ C, tel que : PC (u) − u = min v − u . v∈C On l’appelle le projet´e de u sur C. Il est caract´eris´e par : ∀v ∈ C, PC (u) −

n i=1 (Xi ¯ n(Xn −µ) Sn ¯ − Xn )2 ∼ t(n − 1). • Th´or`me de Cochran : si Y = (Y1 , . . . , Yn ) ∼ Nn (0, In ) et E1 , . . . , Ep est e e une d´composition de Rn en p sous-espaces orthogonaux de dimensions respectives e d1 , . . . , dp (d1 + . . . + dp = n), alors les projections orthogonales YEj , 1 ≤ j ≤ p de Y sur ces sous-espaces sont ind´pendantes et |YEj |2 ∼ χ2 (dj ). e 98 CHAPITRE 6. VECTEURS GAUSSIENS Chapitre 7 Estimation de param`tres e Le statisticien travaille

norme L2 ou norme moyenne quadratique. On notera d2 (f, g) = f − g 2 la distance associ´e. e Th´or`me 1 – Il existe une suite de polynˆmes unitaires (pn )n∈N , deg(pn ) = n, e e o orthogonaux 2 ` 2 pour le produit scalaire de E. Cette suite est unique. Les a e o polynˆmes pn sont appel´s polynˆmes orthogonaux pour le poids w. o D´monstration. On construit pn par r´currence ` l’aide du proc´d´ d’orthogonae e a e e e lisation de Schmidt. On a p0 (x) = 1, puisque p0 doit ˆtre unitaire

Connaître les écritures 3- Connaître la présentation des dessins 10 10 • Réalisation convenable d’une écriture • Réalisation d’une présentation d’un dessin donné • Réalisation de élémentaires projections de solides P 10 20 10 20 P P 4- Réaliser les projections orthogonales 5- Réaliser les différentes perspectives 20 20 • Réalisation correcte d’une perspective cavalière • Réalisation juste d’une perspective isométrique P 6- Réaliser la cotation d’un dessin

coordonnées cylindriques ret z. Le vecteur OM s'écrit alors :   k       OM  OH  HM  r e r  z k   r e  - e est le vecteur unitaire obtenu à partir de e r par rotation de /2 autour de l'axe Oz. - H est la projection orthogonale de M sur le plan xOy ( et r = OH ). -  est l'angle formé entre i et er .   er  z k    j i z On passe des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes par les relations : x = r cos θ y = r sin θ z =