Projection orthogonale

niveau est un outil permettant de vérifier l'horizontalité de la surface avec laquelle il est en contact. Dans son acception usuelle la notion d'horizontalité s'est éloignée de son sens premier de parallèle à l'horizon, pour caractériser un plan orthogonal à la perpendiculaire passant au point de mesure et servant de plan de référence. On remarquera que tous les plans parallèles au plan de référence seront à des "niveaux d'élévation" différents et qu'ils auront des horizons différents, constatant

on peut considérer que l’on a démontré si l’on vérifie qu’il y a bien « recollement ». 1. Aire du parallélogramme L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB). Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques. A(ABCD) = AB × DF = a × h où a = AB = CD et h = DF = CE. Chaque diagonale partage le parallélogramme en

problèmes posés. Séquence1 : Droites orthogonales droites et plans orthogonaux. Activité1(droites orthogonales) offi s’intéresse à l’armoire commandée par son tuteur Fako et réalise la configuration d’un compartiment ayant la forme d’un pavé droit (voir figure) Consignes1 1) Trace en rouge la droite (D1) // (LE) passant par A et la droite (D2) // (IJ) passant par A. 2) Quelle est la position relative de (D1) par rapport à (D2). 3) Définis deux droites orthogonales. Consigne2 1) Donne un exemple

bon choix consiste à rechercher la plus grande dispersion (le plus grand étalement) possible des projections dans le sousespace choisi. On est amené ainsi à chercher une rotation de notre système d'axes initial (les variables) permettant de mieux voir notre nuage. Définissons u1 le vecteur unitaire (i.e. de norme 1; u1'u1=1) recherché; c'est le vecteur présentant la plus grande dispersion des projections. Soit la matrice Xnxp; chaque ligne représente une observation. Chaque colonne représente une variable

Basique 4 3-13 : Basique 5 3-14 : Basique 6 (c) 3-15 : Basique 7 3-16 : Rectangle (c) 3-17 : Angles d’un triangle (c) 3-18 : Carré 3-19 : Parallélogramme 1 3-20 : Parallélogramme 2 (c) 3-21 : Projections (c) 3-22 : Produit scalaire 3-23 : Triangle et projection 3-24 : Rectangle et projection 3-25 : Carré qui tourne (c) 3-26 : Cercles 1 3-27 : Cercles 2 (c) 3-28 : Cercles 3 (c) 3-29 : Cercles 4 (c) 3-30 : Cercles 5 3-31 : Cercles 6 3-32 : Cercle et droites 3-33 : Cercle et droites

rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en e particulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront donn´es seulement si elles sont courtes ou si elles sont e int´ressantes. Ceux qui sont int´ress´s par un traitement plus complet et plus e e e rigoureux peuvent se reporter ` Lang (1987). a ´ A.2 Faits

le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan et conséquences. 2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan. ! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sont deux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $ %" u ! v ' si u et v ' sont de sens contraire & ! " ! " ! ! " " 2. u ! v

a) On pose J = @ 1 1 1 A. Determiner l'orthogonal de J . 1 1 1 b) Soit F le sous-espace vectoriel engendre par J , et F ? son orthogonal. 58 ESCP 99 - Oral Soit A = (ai j ) une matrice de E . On note A0 la projection orthogonale de A sur F et A00 sa projection orthogonale sur F ? . Determiner A0 et A00 . c) Application. Determiner les projections orthogonales sur F et F ? de la matrice identite I3 . 1. La trace etant une forme lineaire sur M3 (R), l'application ' est bilineaire. Comme

carrées . . . . . . . 2.3 Espace euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rang d’une matrice An×p . . . . . . . . . . 2.3.3 Matrice euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Décomposition en valeurs singulières

étudiants en fonction de leurs origines. Maîtriser les bases de l’analyse et de la trigonométrie. Maîtriser les bases des probabilités et des statistiques. Compétences visées : Manipuler les polynômes. Effectuer le produit scalaire, vectoriel et projection de vecteurs. Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. Étudier une variable aléatoire suivant une loi normale. Estimer une moyenne