Projection orthogonale

PROBLEME SUR LES PROJECTIONS DE L’HELICE R. FERREOL ferreol@mathcurve.com PRELIMINAIRES → L’espace affine euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé → → direct → ( O, i , j , k ), → → → → d’axes Ox, → Oy, → Oz. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ( u v ) et leur produit vectoriel u ∧ v . On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques

affines 1.3 Repères 1.4 Applications affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3.6 Angles de droites 2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace 2.4 Espaces affines euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries

domaine en 1821. La géométrie descriptive originale utilise le principe du « premier dièdre » La vue de dessus est située sous la vue de face et la vue de droite est placée du côté gauche de celle-ci). Depuis le début du XXe siècle, on emploie la projection sur le « troisième dièdre » (la vue de dessus en haut de la vue de face et la vue de droite à droite de celle-ci) aux États-Unis et au Canada. Cette différence entre l’Europe et l’Amérique perdure. Le dessin technique a continué son évolution

Éléments de fabrication mécanique 4 I. Dessin Industriel: Un rappel Plan du chapitre Généralités „ Conventions et normes du dessin „ „ „ „ „ Représentation simplifiée des pièces standards „ „ „ „ „ „ „ „ Projection orthogonale Coupes et sections Vues auxiliaires et Diverses Vis et écrous Roulements à billes, à rouleaux, à aiguilles Joints d’étanchéité é é é Clavettes Engrenages Goupilles et anneaux élastiques Ressorts Lecture de dessins „ Exemples

plan P 1 - Points et vecteurs : vecteur associé à deux points. Ensemble P des vecteurs du plan. Opérations d’espace vectoriel de P. Distance dans P, inégalités triangulaires (vectorielles et points). 2 - Norme et angles orientés dans P, vecteurs orthogonaux, angles géométriques. 3 - Bases de P : vecteurs colinéaires, bases, coordonnées, bases orthonormales, bases orthonormales directes. 4 - Repères du plan, repères orthonormés, repères orthonormés directs. B) Autre repérage dans le plan rapporté à

façon suivante : r r r r r r U .V = U × V × cos U ,V r Il est donc nul si les deux vecteurs sont orthogonaux. U ( ) Remarque importante : r r Si le vecteur V est unitaire (de norme 1) alors le V produit scalaire correspond à la projection r orthogonale de U sur la droite de vecteur r directeur V . On dit aussi que c’est la projection r r r r r Projection orthogonal de U sur V si V = 1 orthogonale de U sur V . Voir figure ci-contre : ● Calcul du produit scalaire par les coordonnées : ⎡U x ⎤

d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt) b) Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH). D’après le a), (AG) est perpendiculaire à deux droites sécantes (CH) et (CF) du plan (CFH) . Donc (AG) est orthogonale au plan (CFH). (0,5 pt) 2) a) Démontrer que les

permanents L’échelle Le cartouche Les écritures La nomenclature La mise en page Les traits II. Projections orthogonales Vue d’un objet Règle d’obtention d’une vue Noms des vues principales Positions des vues principales Symbole des dispositions des vues Vues adjacentes Lignes de rappel horizontales et verticales Lignes de correspondance à 45° III. Présentations particulières en projections orthogonales Introduction Vues interrompues Pièces de révolution Vues partielles Vues obliques IV.

Ombres propres Ombres portées sur les plans de projection Ombres portées par la méthode du point de perte 61 61 65 70 4. 4.1 4.2 LES POLYÈDRES Représentation : Ombres propres : 73 73 74 5. 5.1 5.2 5.3 MÉTHODES Changements de plans de projection Rotations Rabattements 77 77 83 86 6. 6.1 6.2 PROBLÈMES MÉTRIQUES Les distances : Angles : 91 91 93 7. 7.1 7.2 GÉNÉRALITES SUR LES COURBES Définitions Projection d’une courbe plane 97 97 99 8. 8.1 8.2

u(x) = x 2 + 4x + 3 or g ′ = 3u ′ u 2 . 2 Comme u ′ (x) = 2x + 4 alors g ′ (x) = 3(2x + 4) x 2 + 4x + 3 . E XERCICE 8.2 (3 points). La courbe C de la figure ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d’une fonction f définie et dérivable sur R. On donne les renseignements suivants : 3 1 A • la courbe admet une tangente horizontale au point −2 −1 O −1 1 2 d’abscisse 1 ; • le point B(2; 1) appartient à C ; • la tangente