Produit de convolution

Ainsi, pour chaque équation, on pourra préciser les unités des résultats obtenus. Comme l’analyse qui suit est basée essentiellement sur trois propriétés de la transformation de Fourier, on les rappelle ci-dessous : – au produit simple dans un espace correspond un produit de convolution dans l’autre x(t) · y(t)←→ X( j f )⊗Y ( j f ) (1) x(t)⊗ y(t)←→ X( j f ) ·Y ( j f ) (2) – la TF d’un peigne d’impulsions de Dirac est également un peigne de Dirac δTe(t)←→ 1 Te δ fe( f ) (3) – la TF d’une impulsion rectangulaire

moyenne temporelle (1 seule réalisation du bruit ne suffit pas). - Produit de convolution: Soit les 2 signaux à TC x ( t ) , y ( t ) (resp. à TD x ( n) , y ( n) ). Leur produit de convolution ∞ est défini par : (TC) x ( t )∗ y ( t ) = ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ (TD) x ( n)∗ y (n) = ∞ ∑ x ( k ) y(n − k ) k =−∞ −∞ Dans le cas discret, la convolution (causale par exemple) peut s’écrire comme un produit scalaire de 2 vecteurs : N N x ( n ) * y ( n ) = ∑ x ( k ) y ( n

ii) f continue Alors f ∈ C1 (R, C) (fonctions continûment dérivables) et on a : F ′ ( f (x))(α) = −iF (x f (x))(α) Preuve. Soit la fonction ϕ : R × R → C définie par ϕ(t, x) = f (t)e−itx . ϕ possède les propriétés suivantes : a) ϕ est continue comme produit de deux fonctions continues ∂ϕ b) (t, x) = −it f (t)e−itx = −itϕ(t, x) est continue ∂x c) L’intégrale d) ∞ ∞ −∞ i) f ∈ K iii) P f ∈ K ϕ(t, x)dt est normalement convergente car |ϕ(t, x)| = | f (t)| et f ∈ K ∂ϕ ∂ϕ (t, x)dt est normalement

sin ���� . �� ������ . ���� �� b) En déduire la valeur de l’intégrale : +∞ �� = 0 sin �� . ���� �� c) En utilisant l’égalité de Plancherel, calculer l’intégrale : +∞ �� = 0 sin �� �� 1 2 2 . ���� Calculer le produit de convolution de ��1 par 2 3) a) On se place dans le cas où �� = . 2 2 lui-même : ��1 ⋆ ��1 b) En déduire la transformée de Fourier de la fonction �� définie sur ℝ par : 1 − �� si �� ≤ 1 �� ∶ �� ⟼ 0 si �� > 1 c) En utilisant la formule d’inversion

Probabilites-Statistiques ´ BMC annee 2011-2012 Pr´paration aux concours du SCAV. e 1 1.1 D´nombrement et notations e Op´rations sur les ensembles e Soit A et B deux ensembles. Nous notons A∪B la r´union de ces ensembles, A∩B leur intersection, e A × B le produit cart´sien, c’est ` dire {(x, y) | x ∈ A et y ∈ B}. La diff´rence ensembliste de A et B e a e se note A − B ou A\B. Il s’agit de {x ∈ A | x ∈ B}. Finalement P(A) est l’ensemble des parties de / A, c’est-`-dire un ensemble dont les ´l´ments sont les

de Fourier d’une fonction int´grable f . Montrer e e que f est n´cessairement impaire (presque partout). e (c) En d´duire que g n’est pas la transform´e de Fourier d’une fonction int´grable. e e e Exercice 7 - Transform´e de Fourier et produit de convolution - Troisi`me ann´e e e e 1. En utilisant la transform´e de Fourier, montrer que l’alg`bre L1 (R) ne poss`de pas d’unit´, e e e e c’est-`-dire qu’il n’existe pas de fonctions g ∈ L1 (R) telle que f g = f pour tout f ∈ a L1 (R). 2. Resoudre

Table des matières 1 Introduction aux Distributions 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Espaces des fonctions tests-Espaces des distributions 1.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . 1.4 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . 1.5 Transformées de Fourier et de Laplace . . . . . . . . 1.6 Travaux Dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Travaux Pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Bibliographie .

TF [x(at)] = X |a| f a Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 5/82 Propriétés Produits de Convolution TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f )Y (f ) TF [x(t)y(t)] = X(f ) ∗ Y (f ) Égalite de Parseval x(t)y ∗ (t)dt = R R X(f )Y ∗ (f )df Conjugaison TF [x∗ (t)] = X ∗ (−f ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 6/82 Distributions Localisation x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 ) Produit de Convolution x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 ) Transformées de Fourier TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f

...................... 6 IV. MANQUE DE MEMOIRE DE LA LOI EXPONENTIELLE .............................................................. 7 V. RELATION DE DUALITE ENTRE LES LOIS DE POISSON ET EXPONENTIELLE ................. 9 VI. CONVOLUTION, LOI DE LA SOMME ............................................................................................. 10 VII. LOI DE ERLANG .........................................................................................................

. . . . . . . . . 1.2.2.2 Décalage en temps/fréquence . . . . . . . . 1.2.2.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.4 Dilatation en temps/fréquence . . . . . . . . 1.2.2.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . 1.2.2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Représentation de Fourier des signaux d’énergie infinie 1.2.3.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.2 Spectre des signaux périodiques . . . . . . . 1.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac