Produit de convolution

vibrations : http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_sur_une_corde_vibrante http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_stationnaire http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration Représentation fréquentielle – série de fourrier : http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration Convolution : http://www.jhu.edu/signals/convolve/ La suspension : http://supervroum.free.fr/Conseils_Suspensions.html http://fr.wikipedia.org/wiki/Suspension_de_v%C3%A9hicule voir aussi « mac pherson »… 6 Les sites de fournisseur matériel Isolation

2 PROPRIETES FONDAMENTALES (système continu ou discret): LINEARITE INVARIANCE EN TEMPS LINEARITE (Propriété de superposition) Soit y1[n]=S{x1[n]} et y2(t)=S{x2[n]} ALORS a y1[n]+ b y2[n] = S{a x1[n]+b x2[n]} Conséquence : une entrée nulle produit une sortie nulle INVARIANCE EN TEMPS Soit y[n]=S{x[n]} ALORS y[n-n0]=S{x[n-n0]} La sortie du système ne dépend pas de l'origine des temps La sortie du système ne dépend pas de l’instant où est appliquée l’entrée On notera SLIT un système

Proposition 9.3 valide: PO'UT f E C= et T E 1Y, la formule de dérivation du produit f Test UT)' = f' T + fT' (9.14) Les deux membres de (9.14) ont un sens, et \ltp E V, on a avec (9.9) et (9.13) : < (fT)', tp > '~ 1';.-~-,..!.-;$3""":'~~ < [ T,tp' >= - < T, f + < T, f'=< [T' + f'T, t.p > 'i';~~:4I>G11~~ - f' ---- .....• 10_-""'" 1 -::,,,%-::--;;-:i:~~,,: --- -9.4.2 Convolution E' . * V' ~f'T~J)~;>t/f~.J{~~;"=,>.5 !~ > . (9.18) La distribution

...................................................... 13 5 - Spectre de raies (à faire chez soi) ....................................................................................................................................... 13 TD3 - Convolution ............................................................................................................................................. 14 1 - Combinaison de filtre en cascade...............................................................

..........7 Propriété de Linéarité.....................................................7 Décalage d'un signal .......................................................8 Dérivée de la transformée en z.........................................8 Convolution de deux signaux discret.................................8 Intercorrélation de deux signaux......................................9 Lien avec l’échantillonage................................................9 Représentation par pôles et zéros..

Fonctions C ∞ ` support compact a 1.1 Calcul diff´rentiel : rappels et notations . . . . . e 1.2 Fonctions de classe C ∞ ` support compact . . . a 1.3 R´gularisation des fonctions . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Convolution des fonctions . . . . . . . . . 1.3.2 R´gularisation par convolution . . . . . . e 1.4 Partitions de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5 Appendice : In´galit´s de H¨lder et de Minkowski e e o 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 E.D.P. d’ordre un

p2 + ω2 on en déduit que L[t sin ωt](p) = 2ωp (p2 + ω2)2 . École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala 15 Equations aux dérivées partuelles, 2021-2022Patrick Njionou,S. 2.2.5 La transformée de Laplace d’un produit de convolution On rappelle que le produit de convolution de deux fonctions f et g est défini

(autrement dit, lorsque deux séries de n nombres sont rangés dans l’ordre croissant, le produit de leurs moyennes est inférieur ou égal à la moyenne de leurs produits) 5. * : (a) Démontrer l’identité de Lagrange : n n a2k k=1 b2k k=1 2 n = ak bk k=1 + 1 i<j n (ai bj − aj bi )2 (b) En déduire que le produit de 2 sommes de 2 carrés (parfaits) est encore une somme de 2 carrés, et que plus généralement, le produit de 2 sommes de n carrés est une somme de .... carrés. 1 EXERCICES MPSI A1. II. SOMMES

p´eriodiques . 1.2.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Propri´et´es des coefficients de Fourier . . . . . 1.3 Repr´esentation de Fourier des signaux d’´energie finie 1.3.1 Transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Convolution de deux signaux . . . . . . . . . 1.3.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Exemples de transform´ees de Fourier . . . . . 1.4 Notation symbolique de Dirac . . . . . . . . . . . . . 1.5 Filtrage lin´eaire . . . . . . . .

2. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1. Définition de l’indépendance de deux événements 2.2.2.2. Tribus indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Produit d’espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Éléments aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Loi de probabilité d’un élément aléatoire . . . .