Produit de convolution

disposons pour l'étude de ceux-ci d'outils mathématiques performants tout en restant d'approche relativement aisée. Outils mathématiques: Modélisation Fonctions Distribution δ Analyse par corrélation, intercorrélation Distributions Convolution Transformée de Laplace Convolution discrète Transformée en Z Moments statistiques Corrélations statistiques Transformée de Fourier des fonctions et des Energie ou puissance Analyse fréquentielle Signaux continus Signaux discrets Systèmes discrets Signaux

- causal He(k) y(k) y(k)=H(y(k-1), (y(k-2), …, e(k),e(k-1), ….)TNS H. Garnier11 Outil d’analyse des caractéristiques d’un filtre numérique linéaire • Un filtre numérique linéaire peut être décrit par : – une équation aux différences – un produit de convolution – sa fonction de transfert – sa réponse impulsionnelle – sa réponse fréquentielle – son diagramme des pôles et des zéros • On le réalise par un programme informatique de calcul • L’outil mathématique exploité pour faciliter son analyse est

Systèmes linéaires en temps discret I Réponse état-nul Somme de convolution L’expression ∞ u[m]h[k − m] m=−∞ désigne la somme de convolution des signaux u[k] et h[k] ; Symboliquement, la somme est représentée par u[k] ∗ h[k] : ∞ u[k] ∗ h[k] = m=−∞ u[m]h[k − m]; Ainsi, la réponse état nul du système est y [k] = u[k] ∗ h[k]. 29 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse état-nul Propriétés de la somme de convolution Commutativité : f1 [k] ∗ f2 [k] = f2 [k] ∗ f1 [k]; Distributivité

Restitution du signal 111 111 131 135 149 149 151 156 163 167 CHAPITRE 7 • ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX DISCRETS 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Les différentes représentations fréquentielles Transformée de Fourier discrète Transformée de Fourier rapide Convolution et corrélation numériques Les fenêtres de pondération Table des matières IX CHAPITRE 8 • FILTRAGE NUMÉRIQUE 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 A.1 A.2 A.3 Introduction Synthèse des filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie Synthèse des filtres

∈ Tf ∈ Tf ∈ Ainsi: LT (p) p LT (p) e-at LT (p) aLT (a p) S*T LS . LT -at Te LT (p+a) S'assurer que l'original ∈ D' + D' si f ∈ L S' si f est à croissance lente. E' si f est à support borné. Tx ∈ S', ∉ E' Tex ∈ D' ,∉ S' 2 Multiplication Produit d'une fonction α(x) et d'une distribution T < αT, ϕ> = T∈ ' et α∈ ⇒ αT∈ ' T∈ ' et α∈ M (C∞ à croissance lente) ⇒ αT∈ ' Bien comprendre la notation Yf(t) Yf'(t) (Yf)' t D S f(s) ds 0 O E D S (αT)' = α'T + αT' Exemple 2: Distribution

vérifier, en utilisant l’équation (1), que &#119878;1 est stable et &#119878;2 est instable (1)6Principaux filtres numériques Pour les filtres invariants, la sortie &#119904; &#119896; est liée à l’entrée &#119890; &#119896; par une équation de convolution discrète. Autrement dit, la fonction donnant la sortie &#119904; &#119896; est une combinaison linéaire de &#119904; &#119896; et de &#119890; &#119896; de la forme suivante: &#119956; &#119948; =෍ &#119946;=&#120782; &#119925; &#119938;&#119946;

courbe de type sinusoïdal. L’examen de ce sinogramme peut mettre en évidence des mouvements du sujet par rupture d’une variation sinusoïdale. En cas de rotation sur 360°, un prétraitement consistant à calculer la moyenne géométrique (racine carrée du produit) de deux projection opposées peut être effectuée. Il permet une première approche de la correction d’atténuation avec la profondeur si on suppose que le coefficient d’atténuation du rayonnement est le même en tout point. -Figure 4Epandage d'une

Fourier Discr` ete Transform´ee de Fourier d’une convolution Soit y (t) = x(t) h(t) : ∞ x(τ )h(t − τ )dτ y (t) = −∞ qui a pour transform´ee de Fourier : ∞ ∞ −∞ −∞ x(τ )h(t − τ )dτ exp(−jωt)dt Y (ω) = Marc Chaumont Introduction Introduction S´ erie de Fourier Transform´ ee de Fourier Quelques propri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier La transform´ ee de Fourier La transform´ ee de Fourier Discr` ete Transform´ee de Fourier d’une convolution ∞ ∞ −∞ −∞ x(τ )h(t − τ )dτ exp(−jωt)dt

131 6.3 Restitution du signal 135 CHAPITRE 7 • ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX DISCRETS 149 7.1 Les différentes représentations fréquentielles 149 7.2 Transformée de Fourier discrète 151 7.3 Transformée de Fourier rapide 156 7.4 Convolution et corrélation numériques 163 7.5 Les fenêtres de pondération 167 Table des matières IX CHAPITRE 8 • FILTRAGE NUMÉRIQUE 179 8.1 Introduction 179 8.2 Synthèse des filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie 187 8.3 Synthèse

d’image ? Les pages qui suivent sont extraites des cours en ligne [BMT, M]. 1.2. QU’EST-CE QUE LE TRAITEMENT D’IMAGE ? 9 cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 1.2.1 – – – – – Quelques aspects du Traitement d’Image Filtrage / d´ convolution (ou filtrage inverse) e Compression Segmentation Restauration / reconnaissance Reconstruction tomographique cel-00125868, version 4 - 4 Jan 2009 10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.2. QU’EST-CE QUE LE TRAITEMENT D’IMAGE ? 11 cel-00125868