Produit de Cauchy

Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que A2 = λA. Exercice 2 [ 00702 ] [correction] Résoudre l’équation X 2 = A où 1 0 A= 0 4 0 0   1 2  16 Exercice 6 Centrale MP [ 02390 ] [correction] Soit n un entier 2 et A un hyperplan de Mn (C) stable pour le produit matriciel. a) On suppose que In ∈ A. Montrer, si M 2 ∈ A, que M ∈ A. En déduire que pour / tout i ∈ {1, . . . , n} que la matrice Ei,i est dans A. En déduire une absurdité. b) On prend n = 2. Montrer que A est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires

)∈A×B P (X = xi )P (Y = yj ) = (xi ,yj )∈A×B = P (X = xi ) xi ∈A P (Y = yj ) (4.5) yj ∈B = P (X ∈ A)P (Y ∈ B). Dans (4.5) nous avons utilis´ les propri´t´s des s´ries ` termes positifs (sommae ee e a tion par paquets, produit de deux s´ries). e Remarque : Si l’on connaˆ la loi de X et celle de Y et si l’on sait que X et Y ıt sont ind´pendantes, alors on peut reconstruire la loi du couple (X, Y ) ` partir e a des lois marginales. Il suffit d’utiliser (4.4). Au risque

n´p´rien. e e 1 Le royaume inaccessible de Newton On va adopter ici une description purement classique de notre univers physique, selon les lois ´dict´es par Newton : l’espace ambient est euclidien, le temps absolu, e e et l’acc´l´ration est ´gale au produit de la masse par la r´sultante des forces. ee e e Dans le cas de la description d’un gaz, ces hypoth`ses sont discutables : d’apr`s e e E.G.D. Cohen, les fluctuations quantiques ne sont pas n´gligeables au niveau e m´soscopique. La nature probabiliste

( X, θ ) ∂ ln L ( X, θ ) g′ ( θ ) = E θ  T ( X ) ----------------------------  – E θ ( T ( X ) )E θ  ----------------------------  - -   ∂θ ∂θ ∂ ln L ( X, θ ) = Cov θ  T ( X ), ----------------------------  -  ∂θ D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ∂ ln L ( X, θ ) 2 g′ ( θ ) 2 = Cov θ  T ( X ), ----------------------------   ∂θ D’où le résultat 2 En dérivant deux fois par rapport à p la log-vraisemblance ln(L(x1, ..., xn ; p)), on obtient : ∫ ∂L ( x, θ ) dx -------------------∂θ

K . Pour simplifier l’écriture, nous désignerons les dérivées premières de f (x, y ) par : ∂f α = -------- , ∂x ∂f β = -------∂y Montrons que N 12 = N 21 . Le tenseur tension satisfait, comme le tenseur contrainte, au théorème de réciprocité de Cauchy (article Déformations et contraintes dans un milieu continu [A 303]) ; donc la projection de Φ 1 sur la normale à Ay est égale à la projection de Φ 2 sur la normale à Ax, soit N12 sin ϕ = N 21 sin ϕ . Dans le repère Axyz, le tenseur tension est donc

géométrique de raison a. On a : un - C = an (uo - C ) Une condition nécessaire et suffisante pour que (un) converge est que l a i < 1. Elle admet alors pour limite b/(l-a). La première année de sa création une société de fabrication automobile a produit Pl = 450 unités. La deuxièiue année P2 = 720 unités. Appelons Pn la production de l'année n. On suppose que la production annuelle évolue suivant le modèle suivant : 3 P n + 2 = 3 A P n ++ -Pn i 4 où &+i= Pn+l - Pn désigne l'accroissement de la

5 Variables al´atoires vectorielles e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Couples al´atoires discrets . . . . . . . . . . . . e 5.3 Couples al´atoires ` densit´ . . . . . . . . . . . e a e 5.4 Ind´pendance et esp´rance de produits . . . . . e e 5.5 Covariance et coefficient de corr´lation lin´aire e e 5.5.1 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 coefficient de corr´lation . . . . . . . . . e 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Th´or`mes limites

l’acquisition puisse y trouver les clés de sa réussite. À propos de Mathematica Nous avons fait le choix, dans cette édition, d’illustrer un certain nombre d’éléments théoriques avec un logiciel de calcul formel : Mathematica. À l’instar d’autres produits comme Matlab ou Maple, ce logiciel peut être d’une grande utilité puisqu’il permet de s’affranchir d’un certain nombre de calculs fastidieux. Il peut aussi fournir une aide précieuse pour la vérification des résultats obtenus. Néanmoins, cet ouvrage

l’aide des relations précédentes ; on obtient : c(r, t) = f (v) e−i(E t−p·r)/ dv (1.1.7) Calculons les dérivées de la fonction c(r, t) en dérivant sous le signe d’intégration. La dérivée première par rapport à t est immédiate. D’autre part, le produit scalaire p · r s’écrit : p · r = px x + py y + pz z et les dérivées secondes par rapport aux variables x, y, z se calculent aisément. Additionnons ces différentes dérivées ; on obtient : i 2 ∂c + Dc = ∂ t 2m f (v) E − p2 2m e−i(Et−p·r)/

3. Soient Ω1 et Ω2 deux ensembles non-vides, le produit cartésien de Ω1 et Ω2 est l’ensemble noté Ω1 ×Ω2 défini par Ω1 × Ω2 = {(ω1 , ω2 ) ; ω1 ∈ Ω1 et ω2 ∈ Ω2 } Remarque 1.1. Ω1 × Ω2 est l’ensemble des couples (ω1 , ω2 ) où ω1 ∈ Ω1 et ω2 ∈ Ω2 . Il faut noter que (ω1 , ω2 ) est appelé couple ordonné, ainsi il y a une différence entre (ω1 , ω2 ) et (ω2 , ω1 ) . [(ω1 , ω2 ) = (ω1′ , ω2′ )] ⇔ [ω1 = ω1′ et ω2 = ω2′ ] De la même manière on définit le produit cartésien de plusieurs ensembles : Définition 1