Poisson

transmissions au cours d’une séquence de 100 jours. Déterminer la loi de N, son espérance et sa variance. d) On admet que la loi de N peut être approchée par une loi de Poisson. Préciser son paramètre. Préciser l’approximation de P ( N = k ) . e) A l’aide de la table ci-jointe de la fonction de répartition de la loi de Poisson, déterminer une valeur approchée des probabilités des événements E1 : « il y a eu plus de 10 erreurs de transmission » et E2 : « le nombre d’erreurs de transmissions est

la variable ! il existe 3 types de phénomènes : * Prévisible : sans faire appel à la probabilité * Prévisible : en faisant appel à la probabilité (pour peu que la loi de probabilité soit correcte.) * Loi binomiale * Loi de poisson * Loi normale * Imprévisible : tellement complexe pour lesquels on fait appel à des calcul de type stochastique ! Le risque est donc fonction de la dispersion de la variable. Par exemple : la dispersion des notes dans une classe peut

certain qu’elle n’a pas de défaut. Par contre, si une carte est rejetée, la probabilité qu’elle ait un défaut n’est pas forte (moins de 50 %). 1. 0,5 2. a) ( ) 0,75 0,75 2. b) 0,5 11PY-ISDRMAT-1 2/5 Partie B : loi de Poisson 1. 2. Avec le formulaire ou avec la calculatrice, P ( X = 5) ≈ 0,18 . Quelle que soit la méthode (utilisation de la table, avec ou sans l’événement contraire, utilisation de la calculatrice), P ( X > 10) ≈ 0,01 . P( X ≤ 6) ≈ 0,763 et P( X ≤ 7) ≈ 0

P(X=1)=p, on a E(X)=p et Var(X)=p(1-p) (très souvent utilisée sans s’en rendre compte : probabilité d’être atteint, de décès…) - Loi Binomiale : répétition de n fois une expérience de Bernoulli de probabilité p, on a E(X)=np et Var(X)=np(1-p) - Loi de Poisson : paramètre λ E(X)=Var(X)=λ (utilisée pour estimer un nombre de quelque chose par unité de temps, de surface ou de volume et qui n’a pas de maximum fixe, comme le nombre de patients aux urgences sur une durée ou le nombre de colonies sur une boite

allongement permanent. Module d'élasticité transversal G ( ou module de Coulomb) : Caractérise l'élasticité du matériau dans le sens transversal de l'éprouvette. Cette grandeur est proportionnelle au module de Young, en fonction du coefficient de Poisson ν, propre à chaque matériau : Unité : N/mm² G= E [21 ν ] Résistance élastique au cisaillement (ou glissement) Reg: Cette contrainte, proportionnelle à Re, marque la limite élastique du matériau dans le sens transversal. Acier doux Re ≤ 250 MPa

15 constantes d’élasticité Module d’élasticité ou module de Young E barreau en traction Allongement d’’un barreau P EF Allongement spécifique d’’un barreau / P F E Loi de Hooke 16 constantes d’élasticité Coefficient de Poisson Allongement transversal spécifique t H H B B D D t t E 17 dilatation thermique Les solides se dilatent quand la température augmente L’allongement thermique relatif est: : coefficient de dilatation thermique : variation

Bernoulli. le produit de n VAR de Bernoulli. la somme de quatre lois uniformes. 14. Soit X une VAR de loi géométrique de paramètre p. Alors IP[X (k − 1)qp. q k−1 p. pk−1 q. p(1 + q + · · · + q k−1 ). 15. Soit X une VAR de loi de Poisson de paramètre λ. Alors IE(X) = λ2 . IE(X) = λ. IE(X) = k] est donnée par 1 . λ2 IE(X) = 1 . λ Fin du QCM Nombre de bonnes réponses: Voir les bonnes réponses Question 1 : Voir page 3, point 3 de la conséquence 1. Question

de dés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

probabilit´ e 2.1 Lois de probabilit´ discr`tes . . . . . . . . . . . . e e 2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . e e 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . . e

q k 1 +∞ (mq)n k! n=k (n − k)! = e−m p q k +∞ 1 (mq)n−k (mq)k k! (n − k)! n=k = e−m p q k +∞ (mq)n 1 (mq)k k! (n)! n=0 p k 1 (mq)k emq q k! (mp)k = e−mp . k! = e−m Z suit donc une loi de Poisson de paramètre m × 0, 25. 3. U est le rang de la première réalisation de l’événément R de probabilité 1/4 au cours d’une succession d’appels indépendants. Y suit donc la loi géométrique G(1/4), c’est-à-dire que, pour k ≥ 1, 1 3 k−1 P (U = k) =