Nilpotent

matrice P inversible telle que B = P -1AP. 10. Puissance d’une matrice Il y a plusieurs méthodes de calcul de puissance d’une matrice : - Si A est diagonalisable, alors An = PDnP-1 - Si on peut écrire A sous la forme de la somme d’une matrice nilpotente J et de aI, on écrit An = (J + aI)n et on applique la formule du binôme de Newton - Si on peut déterminer un polynôme P annulateur de A, on effectue la division suivant les puissances décroissantes de Xn par P. On trouve Xn = P (X) Q (X) + R (X)

H dans Kn . 9. Endomorphismes nilpotents. Soit E un K-espace vectoriel. On note Θ l’endomorphisme nul de E. On dit que f ∈ L(E) est nilpotent d’indice n ≥ 2 si et seulement si : f n−1 = Θ et fn = Θ 392 CHAPITRE 28. APPLICATIONS LINÉAIRES DANS LES K-ESPACES VECTORIELS USUELS (a) Soit f un endomorphisme de E nilpotent d’indice 2. i. Démontrer qu’il existe un vecteur x de E tel que la famille (x, f (x)) est libre. ii. Donner un exemple d’endomorphisme nilpotent d’indice 2 dans le cas où E = R2

endomorphisme cyclique de R2 [X]. 6 - Soit v un endomorphisme de R2 [X] qui commute avec u. Montrer qu’il existe des réels α, β, γ tels que : ∀P ∈ R2 [X], v (P ) = αP + βXP + γX 2 P . D - Deux autres exemples 7 - On suppose que u est un endomorphisme nilpotent de E, et plus précisément que u 2 = 0L (E) et u 3 = 0L (E) . Montrer que u est un endomorphisme cyclique. [On pourra considérer un vecteur x ∈ E \ ker(u 2 ).]   0 0 1 8 - On considère la matrice A = 1 0 0. Déterminer l’ensemble Z(A) des matrices

matrice P inversible telle que B = P -1AP. 10. Puissance d’une matrice Il y a plusieurs méthodes de calcul de puissance d’une matrice : - Si A est diagonalisable, alors An = PDnP-1 - Si on peut écrire A sous la forme de la somme d’une matrice nilpotente J et de aI, on écrit An = (J + aI)n et on applique la formule du binôme de Newton - Si on peut déterminer un polynôme P annulateur de A, on effectue la division suivant les puissances décroissantes de Xn par P. On trouve Xn = P (X) Q (X) + R

ET DE PROTEINE EN SOLUTIONS AQUEUSES : ETUDE PAR DIFFUSIONS DE RAYONNEMENT. ETUDE THEORIQUE ET EXPERIMENTALE (RESONANCE CYCLOTRONIQUE D'IONS) DE LA BASICITE EN PHASE VAPEUR, DE COMPOSES AZOTES ET OXYGENES. STRUCTURES DES ELEMENTAIRES. OPERATEURS NILPOTENTS DERIVATIONS OPERATEURS FSSM 62 OUAHSINE HOURIA 16/10/93 B 63 BAYANE CHAFIQ 12/11/93 C 64 SEDRA MY HASSAN 17/11/93 B 65 66 HILALI SAID EL MOURAOUAH AZELARAB 03/12/93 04/12/93 B G 67 KHALID

Etablir I = I1 × I2 . c) Conclure que les idéaux de l’anneau (Z2 , +, ×) sont tous principaux. Exercice 42 [ 00136 ] [correction] [Nilradical d’un anneau] On appelle nilradical d’un anneau commutatif (A, +, ×) l’ensemble N formé des éléments nilpotents de A i.e. des x ∈ A tels qu’il existe n ∈ N vérifiant xn = 0. Montrer que N est un idéal de A. Exercice 43 [ 00137 ] [correction] [Radical d’un idéal] Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. On note R(I) l’ensemble des éléments x de A pour

Ψ. Exercice 5 : Soit f l’application linéaire d’un K-espace vectoriel E vers un Kespace vectoriel F . Montrer que pour toute partie A de E, on a f (vect(A)) = vect(f (A)). Exercice 6 : Soie E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E nilpotent, c’est-à-dire il existe n ∈ N∗ pour lequel f n = 0 et f n−1 = 0. Montrer que Id −f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f . Exercice 7 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels, f ∈ L(E, F ) et A, B deux sous-espaces vectoriels

de Ψ. Exercice 5 : Soit f l’application linéaire d’un K-espace vectoriel E vers un Kespace vectoriel F . Montrer que pour toute partie A de E, on a f (vect(A)) = vect(f (A)). Exercice 6 : Soie E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E nilpotent, c’est-à-dire il existe n ∈ N∗ pour lequel f n = 0 et f n−1 = 0. Montrer que Id −f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f . Exercice 7 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels, f ∈ L(E, F ) et A, B deux sous-espaces vectoriels de

bijective. – Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. – Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL( E) l’ensemble des automorphismes de E. 16 [1] Mathématiques Endomorphisme nilpotent On dit qu’un endomorphisme f d’un K-espace-vectoriel E est nilpotent si et seulement si : ∃ p ∈ N∗ tel que f p = 0. L’ordre de nilpotence est alors le plus petit p ∈ N∗ tel que f p = 0. Applications linéaires – Cas de la dimension finie (1) f isomorphisme (2) f injective (3) f surjective

admettant une valeur propre λ de multiplicité n, où n désigne dim E. A en général n'est pas diagonalisable, mais trigonalisable avec une diagonale de λ (éventuellement sur ). Cela signifie que (A – λI)n est nul. Posons B = A – λI. B est une matrice nilpotente. On peut donc calculer facilement exp(tB) qui est une somme finie, ou plus précisément un polynôme en t de degré inférieur strictement à n, et à coefficients matriciels. On a alors A = λI + B, d'où exp(tA) = exp(λtI)exp(tB) = eλtexp(tB), dont les