Nilpotent

Exercices - Anneaux : corrigé Structure d’anneaux Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 Soient n, m tels que xn = 0 et y m = 0. 1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0. 2. Remarquons d’abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D’après la formule du n+m k n+m−k binôme, (x+y)n+m = n+m x y . Mais, pour k ≥ n, xk = 0 =⇒ xk y n+m−k = k=0 k 0. D’autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc y n+m−k = 0 =⇒ xk y n+m−k = 0. Ainsi, (x + y)n+m = 0. On pourrait même

(K) qui n’est pas inversible est ´quivalente ` une matrice e a nilpotente. Exercice 23 - Matrices de trace nulle - Math Sp´/L2 e 1. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L(E). Montrer que f est une homoth´tie si et seulement e si, pour tout x ∈ E, la famille (x, f (x)) est li´e. e 2. Soit A ∈ Mn (K) de trace nulle. Montrer que M est semblable ` une matrice n’ayant que a des z´ros sur la diagonale. e Exercice 24 - Matrices nilpotentes - Math Sp´/L2 e 1. Soit A ∈ Mn (K) une matrice telle que Ak =

le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé s’écrit de manière unique sous la forme A = D + N, avec D diagonalisable, N nilpotente et DN = N D. Un calcul explicite de D et N est obtenu grâce au théorème chinois pour les polynômes. Ces résultats sont appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels linéaires. On présente au Chapitre

. . , n} que la matrice Ei,i est dans A. En déduire une absurdité. b) On prend n = 2. Montrer que A est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02687 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A et A + B sont simultanément inversibles. Commutation de matrices Exercice 8 [ 00697 ] [correction] On suppose que A, B ∈ Mn (K) commutent et que A est inversible. Justifier que A−1 et B commutent. Exercice 9 [

si f (n) = d |n g (d ), alors g (n) = d |n µ dn f (d ). Somme des puissances dans / p Soit p un nombre premier et k un entier naturel. Que vaut la somme x∈ / p x k ? Somme d’un élément nilpotent et d’un élément inversible commutant On se place dans un anneau quelconque. Montrer que la somme d’un élément nilpotent et d’un élément inversible qui commute avec lui (en particulier, l’unité) est inversible. Anneaux connexes Montrer qu’un anneau dont tous les éléments sont indempotents est commutatif. Montrer

l’arrivée à la forme suivante :   0 ... 0 1 0 ...  .   .. . . . ... 0 1 . . .    .  . .. .. .. ..   . . .  . .  .  0 ... 0 0 ... http://www.bibmath.net 13 Exercices - Matrices : corrigé Elle est donc nilpotente. Autrement dit, M est équivalente à une matrice nilpotente. Exercice 23 - Matrices de trace nulle - Math Spé/L2 1. Si f est une homothétie, alors (x, f (x)) est bien toujours liée. Réciproquement, l’hypothèse nous dit, que pour tout x non-nul, il existe un scalaire λx tel que

Endomorphismes nilpotents Ce qu’il faut savoir Soit E un K-espace vectoriel et soit f ∈ L(E). On dit que f est un endomorphisme nilpotent lorsqu’il existe p ∈ N tel que f p est l’endomorphisme nul sur E. On utilisera l’abus de notation f p = 0. Si f un endomorphisme nilpotent sur E, alors il existe un unique entier p dans N∗ tel que f p = 0 et f p−1 = 0. On appelle cet entier indice de nilpotence de f . Exemple : Soit n ∈ N. La dérivation sur Rn [X ] est un endomorphisme nilpotent d’indice n + 1

que y = u p (a ) . Or Fp = Fp +1 donc ∃b ∈ E tel que u p (a ) = u p +1 (b ) et donc y = u (x ) avec x = u p (b ) ∈ Fp . Ainsi u|F est surjectif. Au final u|F est un automorphisme. Soit x ∈ G = G p . On a u p (x ) = o donc (u|G ) p = 0 . u|G est nilpotent. 

matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques IV : Changement de bases 1) Définition 2) Expression d'un vecteur 3) Applications linéaires 4) Annexe : composition des vitesses et des

j ) = 0. (b) En d´ duire que Φ(A + B) = Φ(A) + Φ(B). e 3. Montrer que Φ est lin´ aire puis justifier que c’est un automorphisme de Mn (C). e 4. Montrer que, pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments distincts de {1, . . . , n}, la matrice Ei,j est ee nilpotente et en d´ duire qu’il en est de mˆ me pour la matrice Φ(Ei,j ). e e 5. Dans la suite de cette partie, on notera G = (gi,j )1 i,j n ´e 2. Soient A et B deux el´ ments de Mn (C). la matrice telle que Φ(G) = In . (a) Justifier que, pour toute