Nilpotent

pour + L1 Maths - Info Algèbre 2008 Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que xn = 0. On peut montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , ∀n ∈ N∗ , p (x + y) = k=0 p p k xk y p−k , où p k = p! . k! (p − k)! (a) Soient x et y deux éléments nilpotents de A. Montrer que x + y est nilpotent. (b) Soit x un élément nilpotent de A et soit y ∈ A. Montrer que xy est nilpotent. (c) Soit x ∈ A nilpotent. Montrer que 1 − x est inversible et déterminer son inverse. Exercice 12

commutent à tout élément de G. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G. Soit A un anneau. Un élément x ∈ A est dit nilpotent si xn = 0A pour un certain n ∈ N∗ . 1) Si A est intègre, montrer que 0A est le seul élément nilpotent de A. 2) Montrer que la somme et le produit de deux éléments nilpotents de A qui commutent sont encore nilpotents. 3) Pour tout x ∈ A nilpotent, montrer que 1A − x est inversible et déterminer (1A − x)−1 . ————————————– 11 Soit A un anneau. 1) On appelle

n2 est plus précise que l’inégalité dim(C(u)) ≥ n. p 6. Si u est l’endomorphisme de Cn dont la matrice dans la base canonique est la matrice M de la partie 0, u est diagonalisable et dim(C(u)) = n. Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent d’indice 2 1. On a u2 = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(u(x)) = 0 ⇔ ∀x ∈ E, u(x) ∈ Keru ⇔ Imu ⊂ Keru. n = dim(Keru) + dim(Imu) ≥ 2dim(Imu) = 2r, et donc, r≤ n . 2 D’après le théorème du rang, ′ ′ 2. 1 ère solution. (où l’on redémontre le théorème du rang).

Dn+1 . c. i/ • F est de dimension finie (n + 1) donc engendr´e par une famille finie F de polynˆ omes. Etant finie, F est incluse dans un sous espace Eq donc F ⊂ Eq . Dans ce cas D q+1 F = {0} donc l’endomorphisme induit de DF est nilpotent. DF est un endomorphisme nilpotent en dimension n + 1 donc D Fn+1 = 0 (pr´eliminaire question c) Alors Dn+1 (F ) = {0} donc F est inclus dans En et par l’´egalit´e de leur dimension : F = En. • Soit maintenant F un sous espace de dimension infinie. Alors F n’est

Proposition 1 Si An est l’ensemble des matrices nilpotentes, (ou même l’ensemble des matrices telles que A2 = 0), alors V (An ) est l’hyperplan {A | tr(A) = 0}. Tout d’abord, puisque toute matrice nilpotente est de trace nulle, on a l’inclusion V (An ) ⊂ {A | tr(A) = 0} . Comme le sous-espace {A | tr(A) = 0} est le noyau d’une forme linéaire, c’est un hyperplan de Mn (R) et il est de dimension n2 − 1. Il reste à trouver un système libre de n2 − 1 matrices nilpotentes pour avoir l’égalité. 2 Les n2 − n matrices

désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel

projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p. Correction [005598] Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent. Correction [005599] Exercice 3 *** Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient f et g deux projecteurs distincts et non nuls de E tels qu’il existe deux complexes a et b tels que : f g − g f = a f + bg. 1. Montrer que si

R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction Exercice 3 Soit M la matrice de R4 suivante

E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que AB =  2 −2 puis calculer BA.  2 −2 5 4 . Justifier l’existence de A et B 4 5 no 24 (**I) : (Noyaux itérés) Soient E un espace vectoriel et f un

seulement si, p ◦ q = q ◦ p = ˜. 0 b) Préciser alors Im(p + q) et ker(p + q) Exercice 4 [ 00163 ] [correction] Soient n ∈ N , E = Rn [X] et ∆ l’endomorphisme de E déterminé par ∆(P ) = P (X + 1) − P (X). a) Justifier que l’endomorphisme ∆ est nilpotent. b) Déterminer des réels a0 , . . . , an , an+1 non triviaux vérifiant : n+1 Exercice 10 [ 02468 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E vérifiant p ◦ q = 0. a) Montrer que r = p + q − q ◦ p est un projecteur. b)