Morphisme d'anneaux

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc

trigonometrie Partie II : Argument, exponentielle complexe II II.1 Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) D´finition e Pour tout r´el θ, on pose eiθ = cos θ + i sin θ. e Th´or`me e e L’application θ → eiθ est un morphisme surjectif du groupe (IR, +) dans le groupe (U, ×) des nombres complexes de module 1, de noyau 2πZ = {2kπ, k ∈ Z : Z Z} – ∀ θ ∈ IR, | eiθ | = 1. – ∀ (θ, ϕ) ∈ IR2 , eiθ eiϕ = ei(θ+ϕ) . – ∀ z ∈ U (c`d | z | = 1), ∃ θ ∈ IR, eiθ = z. a – ∀ θ ∈

?? ∗ : ?, ? ∙ ? désigne l’image de ( ?, ?) par ∙ : {( ?× ?→ ? . ?, ?) ↦ ? ∗ ? { ?× ? → ? ( ?, ?) ↦ ? ∙ ? MORPHISME Soient (E, ○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni

´l´ment . . . . . . . . . . . . . . e ee I.9 El´ments simplifiables . . . . . . . . . . . . . . . . e I.10 Propri´t´s transport´es par un morphisme surjectif ee e II Groupes, sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Sous-groupe engendr´ par un ´l´ment . . . . . . . e ee II.5 Groupes monog`nes, groupes

application ϕ : G → G′ telle que ϕ(x ⋆ y) = ϕ(x) ⋆′ ϕ(y). Le noyau d’un morphisme de groupes ϕ est ´gal ` e a Ker ϕ := ϕ−1 ({e′ }) = {x ∈ G; ϕ(x) = e′ }. Exercice 1 (Injectivit´ et noyau). Montrer qu’un morphisme de groupes f : G → G′ est injectif, e c’est-`-dire f (x) = f (y) implique x = y, si et seulement si le noyau de f est ´gal ` {e}. a e a Exercice 2 (Le cercle unitaire). (1) Montrer que l’application R → GL2 (R) est un morphisme de groupes. (2) Quelle est son image ? (3) Quel est son noyau ? (4)

centralisateur du singleton {x}. • Étant donné un groupe G et deux sous-groupes H et K de G, on désigne par HK le produit de H par K, défini par : HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K}. • Étant donné deux groupes G et H, de neutres respectifs eG et eH , et un morphisme de groupes f : G → H, on appelle noyau de f l’ensemble Ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = eH }. • Soit G un groupe d’ordre pr m, où pr ∧ m = 1, et p est un nombre premier. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G un sous-groupe de G de cardinal pr . •

pour tout élément a de A, ϕ(ϕ(a)) = a. Donc ϕ est une bijection, puisque tout élément de A a pour antécédent ϕ(a). Montrons maintenant que ϕ est un morphisme pour l’addition. √ √ √ ϕ((m + n 6) + (m + n 6)) = ϕ(m + m + (n + n ) 6) √ = m + m − (n + n ) 6 √ √ = m−n 6+m −n 6 √ √ = ϕ(m + n 6) + ϕ(m + n 6). Montrons enfin que ϕ est un morphisme pour la multiplication. √ √ √ ϕ((m + n 6)(m + n 6)) = ϕ(mm + 6nn + (mn + m n) 6) √ = mm + 6nn − (mn + m n) 6 √ √ = (m − n 6)(m − n 6) √ √

Soit k ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xk ∈ E. On dit que e x est combinaison lin´aire de x1 , . . . , xk si ∃λ1 , . . . , λk ∈ K tels que x = λ1 x1 + . . . + λk xk . e § Morphismes de K-ev (ou applications lin´aires). e D´f. 10. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application. On dit que u est lin´aire e e (ou que u est un morphisme de K-ev) si elle v´rifie les deux conditions suivantes: e i) ∀x, y ∈ E u(x + y) = u(x) + u(y), ii) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E u(λ.x) = λ.u(x). Rq. et d´f. 11. Soient E, F deux K-ev

rotations de (E, φ), e e ee ils constituent un sous-groupe O+ (E, φ), le groupe sp´cial orthogonal de (E, φ), distingu´ dans e e O(E, φ). De plus [O(E, φ) : O+ (E, φ)] = 2. Preuve. L’identit´ uu∗ = Id implique det(u)2 = 1 et O + (E, φ) est le noyau du morphisme de e groupe det : O(E, φ) → {−1, 1}. 2 D´finition. — Soit E un espace vectoriel (non n´cessairement quadratique). Un endomore e phisme involutif (ie u2 = IdE ) est appel´ une sym´trie de E. e e u Exercice 3. Montrer que s est une sym´trie de E ssi

des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective. En effet : ∀y ∈ G, ∃x ∈ G tel que y = ϕg(x). (Il suffit de choisir x = g−1y). Ceci assure la surjectivité. ϕg(x) = ϕg(x') gx = gx' ✁ ✁ g−1gx = g−1gx' ✁ x = x'. Ceci assure l'injectivité.