THÉORÈME DE CAYLEY
Théorème
Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn.
Démonstration :
Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même)
On note multiplicativement la loi de G.
1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective. En effet :
∀y ∈ G, ∃x ∈ G tel que y = ϕg(x). (Il suffit de choisir x = g−1y). Ceci assure la surjectivité. ϕg(x) = ϕg(x')

gx = gx'
✁

✁

g−1gx = g−1gx'
✁

x = x'. Ceci assure l'injectivité.

Remarque : ϕg est une application de G dans lui même, donc un seul des arguments ci-dessus est nécessaire.
On a démontré que ϕg est bijective.
2. On considère maintenant l'application θ suivante : θ:G g

→ Bij (G)

ϕg

Alors θ est un morphisme du groupe (G, ×) dans le groupe (Bij(G), o). En effet :
Soient g et g' dans G. Alors :
∀x ∈ G, θ(gg')(x) = ϕgg' (x) = gg'x = gϕg' (x) = ϕg(ϕg' (x)) = ϕg o ϕg' (x) θ(gg') = ϕg o ϕg' = θ(g) o θ(g')

D'où :

En conséquence Im(θ) est un sous-groupe de Bij(G).
De plus, θ est injectif. En effet : θ(g) = θ(g')
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∀x ∈ G, θ(g)(x) = θ(g')(x)
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∀x ∈ G, ϕg(x) = ϕg' (x)
✁

∀x ∈ G, gx = g'x

g = g'
✁

On en déduit que θ induit un isomorphisme de G sur Im(θ
θ).
Et comme Bij(G) et le groupe symétrique Sn sont isomorphes, on en déduit le théorème de Cayley.

Théorème de Cayley

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G. COSTANTINI