Morphisme d'anneaux

et B = diag(b1 , . . . , bp ) sont dans ∆, on a E(A + B) = E(diag(a1 + b1 , . . . , ap + bp )) = diag(ea1 +b1 , . . . , eap +bp ) = diag(ea1 eb1 , . . . , eap ebp ) = diag(ea1 , . . . , eap )diag(eb1 , . . . , ebp ) = E(A)E(B) E est donc bien un morphisme de groupes de (∆, +) dans (GLp (K), ×). B.1 Par hypoth`se, il existe une matrice inversible P ∈ GLp (K) et une matrice D ∈ ∆ telles e 1 1 que P −1 AP = D. On a alors Ip + n A = P Ip + n D P −1 . Comme (P M P −1 )k = P M k P −1 (r´currence sur k)

Montrer qu’il existe en fait m ≤ n avec Am = 0. 2. Existe-t-il une matrice complexe A dont le carr´ soit ´gal ` la matrice suivante ? e e a 0 0 0   B =  −1 0 0  . 0 −1 0   Exercice 25 - Morphismes de groupes de GLn (K) dans K∗ - Math. Sp´ e Soit K un corps infini, φ : GLn (K) → K∗ un morphisme de groupes, φ(M ) s’exprimant comme un polynˆme des coefficients de M . Montrer que φ est une puissance du d´terminant. o e Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices

. . . . . . . . . . . . 18 18 19 19 19 Propriétés de clôture des langages reconnaissables 5.1 Clôture Booléenne . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Clôture par produits . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Clôture par morphisme . . . . . . . . . . . . . 5.4 Pompage des langages reconnaissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c’est un morphisme de K-espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois définies sur E et F, c’est-à-dire si → → → → → → 1. ∀− , − ∈ E f (− + − ) = f (− ) + f (− ) x y x y x y − ∈ E ∀λ ∈ K f (λ− ) = λf (− ) → → → 2. ∀ x x x REM 1: on peut regrouper 1. et 2. en un seul énoncé : → → → → → → 3. ∀− , − ∈ E ∀λ ∈ K f (− + λ− ) = f (− ) + λf (− ) x y x y x y D1 REM 2 : 1. signifie que f est un morphisme du groupe (E, +) vers le groupe (F, +) : mais ceci

Caractérisations fondamentales des sous-groupes (énoncés ) + Montrer que , dans G groupe abélien , H = x ∈ G / ∃n ∈ N ∗ xn = e est un sous-groupe 5. Noyau et image d’un morphisme de groupes : définitions + montrer que ce sont des sous-groupes + Montrer que , dans G groupe abélien , H n = x ∈ G / x n = e est un sous-groupe 6. Noyau et image d’un morphisme de groupes : définitions + caractérisations de l’injectivité et de la surjectivité (énoncés + preuves ) 7. Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R n (Enoncé + démonstration

14a. Montrer que Φ est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de XY X −1 sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y . En déduire que Φ est de classe C 1 . 14b. Montrer que dΦIn : Mn (R) → L(Mn (R)) est donné, pour tous X, Y ∈ Mn (R) par dΦIn (X)(Y ) = XY − Y X . Dans la suite du problème, on pose ϕ(X) = dΦIn (X) : Mn (R) → Mn (R) Y → XY − Y X . 15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GLn (R) → GL(V ) un morphisme de groupes de classe C 1 .

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés 1 Morphisme de groupes Exercice 1 [ 02218 ] [correction] Soit n ∈ N et f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application

Les prédérivateurs forment une 2-catégorie, notée Preder : les 1-morphismes (appelés dans [Cis03] Dia -morphismes) sont les pseudo-transformations naturelles, et les 2-morphismes sont les modifications (appelées dans [Cis03] 2-Dia -morphismes). Si D et D sont deux prédérivateurs, on désignera par Hom(D, D ) la catégorie des morphismes de D vers D . On note e la catégorie ponctuelle (i.e. avec un seul objet, et pour seul morphisme, l’identité). La philosophie des (pré)dérivateurs consiste à voir D

n  Z. MORPHISMES DE GROUPES Soient (G,*) et (G',¤) deux groupes. Une application f : G → G' est un morphisme de groupes si : pour tout x, x'  G f (x*x') = f (x) ¤ f (x') Proposition 1 Soit f :G → G' un morphisme de groupes alors : - , - pour tout x  G, Proposition 2 Soient deux morphismes de groupes f :G → G' et g :G' → G''. Alors g o f :G → G'' est un morphisme de groupes. Si f : G → G' est un morphisme bijectif alors : G' → G est aussi un morphisme de groupes. Un morphisme bijectif