Morphisme d'anneaux

aun + b pour tout n ∈ N. Alors ∀n ∈ N, un = b b + an u0 − 1−a 1−a . b . n 1−a Preuve. On a montré que un = + an(u0 − ) avec = a + b, soit encore = 1.2. Le problème des tours de Hanoï Commençons par fixer les notations. Soit N le nombre d’anneaux. On ordonne ces anneaux par tailles croissantes et on les identifie à leur rang. Une tour est donnée par la liste de ses anneaux, énumérés de la base au sommet. Une position du jeu est alors une liste ordonnée des 3 listes obtenues. Par exemple, la

Correction [002962] Exercice 2963 Loi sur Z2 On définit l’opération dans Z2 : (a, b) ∗ (a , b ) = (aa , ab + b). 1. Étudier les propriétés de cette opération. 2. Pour z ∈ Z, on pose fa,b (z) = az + b. Montrer que φ : Z2 → ZZ , (a, b) → fa,b est un morphisme pour ∗ et ◦. 3. Est-ce un isomorphisme ? Correction [002963] Exercice 2964 Composition de relations Soit E un ensemble, et F l’ensemble des relations binaires sur E. Pour R, S ∈ F , on définit la relation R ∗ S par : x(R ∗ S)y ⇐⇒ ∃ z ∈ E tq xRz

Correction [002962] Exercice 2963 Loi sur Z2 On définit l’opération dans Z2 : (a, b) ∗ (a , b ) = (aa , ab + b). 1. Étudier les propriétés de cette opération. 2. Pour z ∈ Z, on pose fa,b (z) = az + b. Montrer que φ : Z2 → ZZ , (a, b) → fa,b est un morphisme pour ∗ et ◦. 3. Est-ce un isomorphisme ? Correction Exercice 2964 Composition de relations Soit E un ensemble, et F l’ensemble des relations binaires sur E. Pour R, S ∈ F , on définit la relation R ∗ S par : x(R ∗ S)y ⇐⇒ ∃ z ∈ E tq xRz et zSy. A toute

commutent. 36 c. Montrer que (idE − f )−1 ◦ idE + f ∈ SO(E) CCP 63 a b , (a,b) ∈ R2 } −b a a. Montrer que E est sev et sous-anneau de M2 (R) et calculer dim(E) b. Soit C −→ E a b ϕ: a + ib −→ −b a E={ Montrer que ϕ est un isomorphisme d’ev et d’anneaux. CCP 64 12 points Soit (A,B) ∈ Mn (C)2 sans valeur propre commune. a. Montrer que χA (B) est inversible b. Montrer que ∀X ∈ Mn (C), (AX = XB ⇔ X = 0) c. Montrer que ∀M ∈ Mn (C),∃X ∈ Mn (C), unique / AX − XB = M CCP 65 12 points E euclidien

d'endomorphismes nilpotents de E qui commutent deux a deux. Montrer n Y que ui = 0. 174. (a) Un element d'un sous-groupe ni7 de GLn (C ) est-il diagonalisable ? (b) Soient G un groupe ni, E un C -espace vectoriel de dimension nie. f : G ?! GL(E ) un morphisme de groupe. Soit a 2 G on pose : (a) = tr(f (a)). Montrer : 8a 2 G : (a?1) = (a) Diagonalisabilite de f (a) ? 7 Voir l'exercice numero 1 d'algebre generale. L i=1 i=1 115 175. Soit A 2 M2(Z). On suppose qu'il existe k 2 N = Ak = I2.

image d’une solution T -périodique non triviale (non identique à un point d’équilibre) est une orbite fermée. 10 ∂gi (x) ∂xj 11 Si g est un champ de vecteurs sur Rn alors sa Jacobienne au point x est la matrice . Un homéomorphisme est un morphisme bijectif bicontinue. Ainsi, une courbe de Jordan c’est une courbe obtenue par transformation bijective bicontinue à partir du cercle. 175 4. EDO non-linéaire Exemple 4.5.2. Si on reprend l’équation de Van der Pol (4.3) avec f (x) = (x3 − 2µx)

le th´eor`eme des restes chinois ainsi : Consid´erons l’application ρ : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ qui a un ´el´ement a ∈ Z/nmZ associe son reste modulo m et son reste modulo n ; les propri´et´es des congruences permettent de v´erifier que c’est un morphisme d’anneaux : ρ(a + b) = ρ(a) + ρ(b) et ρ(ab) = ρ(a)ρ(b), le th´eor`eme des restes chinois dit que si PGCD(m, n) = 1 alors ρ est une bijection (un isomorphisme). Le calcul sur ordinateur s’effectue en fait modulo 2N (avec N d´ependant de la machine, du

th´or`me des restes chinois ainsi : e e Consid´rons l’application ρ : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ qui a un ´l´ment a ∈ Z/nmZ e ee associe son reste modulo m et son reste modulo n ; les propri´t´s des congruences permeee ttent de v´rifier que c’est un morphisme d’anneaux : ρ(a + b) = ρ(a) + ρ(b) et ρ(ab) = e ρ(a)ρ(b), le th´or`me des restes chinois dit que si PGCD(m, n) = 1 alors ρ est une bijection e e (un isomorphisme). Le calcul sur ordinateur s’effectue en fait modulo 2N (avec N d´pendant de la machine, e