Monôme

Les fonctions puissances, polynômes, racine carrée, valeur absolue, sinus, cosinus sont continues leurs ensembles de définition. Preuve. • La fonction identité est trivialement continue, donc xn = x × x × · · · × x aussi (récurrence). Par suite, un monôme an xn est continu et finalement un polynôme an xn + · · · + a1 x + a0 aussi. √ √ |x − a| |x − a| √ √ • On remarque que | x − a| = √ a pour limite 0 lorsque x → a. Ainsi x+ a a √ √ lim x = a et donc la fonction racine carrée est continue en a = 0. x→a

variables sont définies dans un système de m mesures faisant appel à p unités fondamentales Di (en général, p = 3 avec comme unités fondamentales : le mètre, la seconde, le kilogramme). Chaque variable aj est dimensionnellement homogène à un produit de monômes des unités de base γ [aj ] = D1 j D2 j . . . Dp j . α β Par exemple, lorsque p = 3, on a en général une longueur D1 = L, une masse D2 = M , et un temps D3 = T comme unités de base [a] = M α Lβ T γ , ce qui donne pour les n variables [a1 ] = M

f ( x) i 1 Exemples de noyaux K ( x, z )  x.z  2 2 n   n K ( x, z )    xi .zi    ( xi .x j )( zi .z j ) i , j 1   i 1 K ( x, z )   ( x). ( z )  avec  ( x) /  ( x)i , j  ( xi .x j )i , j 1,n  n  1  i.e. tous les monomes de d 2 :   2  K ( x, z )  ( x.z   c) 2 K ( x, z )   ( x). ( z )  avec (x) /  ( x)i , j  (( xi .x j )i , j 1,n , ( 2cxi )i 1,n , c) i.e. ss ensemble des polynomes de d 2 102 Apprentissage Statistique - P. Gallinari  Exemples

d’un fibré vectoriel sur une variété dans un type d’homotopie rationnelle donné. Comme dans le cas sans fibré (section 2.2), les invariants numériques rationnels qui conditionnent la réalisabilité d’une telle structure sont obtenus en évaluant des monômes en les classes caractéristiques putatives sur la classe d’orientation d’un complexe de Poincaré rationnel. 4.1 4.1.1 Généralisation des nombres de Pontryagin Construction Soit M une variété fermée orientée de fibré normal stable νM . Si

réunions d’étudiants 180 qui, en groupes compacts et bruyants, se croient obligés de fêter, avec la complicité de la dive bouteille, un événement destiné à faire plus de victimes que de triomphateurs. Ne pas se laisser entraîner à de gigantesques monômes de jeunes se figurant peut-être que des manifestations à forme primitive vont intimider les membres du Jury et les acculer, tout tremblants, à l’indulgence! 4 . A l’examen écrit. S’y présenter modestement, mais avec confiance, si l’on a travaillé

colonnes sont les vecteurs propres correspondant. renvoie les coefficients du polynôme caractéristique associé à la matrice carrée A. On sera vigilant à l’ordre dans lequel sont rangés les coefficients : le premier élément du vecteur est le coefficient du monôme de plus haut degré. Ainsi dans l’exemple suivant il faut lire p(λ) = λ3 −6λ2 −72λ−27, >> A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0]; p = poly(A) p = 1 -6 -72 -27 poly(A) : inv(A) rank(A) trace(A) expm(A) : : : : renvoie l’inverse de la matrice carrée

de ent graphe de sgn y 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 3−1−2−3 x y 2 −2 2−2 x ♠ Exercice 238 : construction de fonctions continuesRéviser QQ25 Activer QQ30 Activer QQ31 Les fonctions élémentaires suivantes sont continues (cela se voit sur leur graphe). • Les monômes : xn avec n ∈ N. • Les racine n-ièmes : n √ x avec n ∈ N. • Les fonctions trigonométriques : cos(x), sin(x) et tan(x). • Les exponentielles et les logarithmes : ax, loga(x) (pour a > 0 et a ̸= 1). Soit f et g deux fonctions continues sur leur domaine

vecteurs propres correspondant. poly(A) : renvoie les coefficients du polynôme caractéristique associé à la matrice carrée A. On sera vigilant à l’ordre dans lequel sont rangés les coefficients : le premier élément du vecteur est le coefficient du monôme de plus haut degré. Ainsi dans l’exemple suivant il faut lire p(λ) = λ3 −6λ2 −72λ−27, >> A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0]; p = poly(A) p = 1 -6 -72 -27 inv(A) : renvoie l’inverse de la matrice carrée A. rank(A) : renvoie le rang de la matrice carrée

représentation à deux dimensions du groupe SU(2). On peut former des représentations de plus grande dimension en utilisant des monômes de degré quelconque à partir des composantes c, f d’un spineur. a) Représentation de dimension trois Soient les monômes suivants : 1 z0 = √ c2 2 ; z1 = cf ; 1 z2 = √ f2 2 (9.3.7) 9 • Spineurs 210 Ces monômes peuvent être considérés √ comme les composantes d’un vecteur x = (z0 , z1 , z2 ). Les coefficients 1/ 2 sont introduits de

Q = 2 + deg P et permet de déterminer les coefficients de Q correspondant au monômes de degrés supérieurs ou égaux à 2 de la forme canonique de Q. Il suffit donc de déterminer Q, avec Q(t) = 2+deg P q n tn . n=2 – Deuxième cas : α est une racine simple de χ. Alors, l’égalité (7.4) devient : (2aα + b)Q + aQ = P . De cette égalité, on déduit que deg Q = 1 + deg P , ainsi que les coefficients de la forme canonique de Q des monômes de degrés supérieurs ou égaux à 1. On détermine donc Q, avec Q(t) = 1+deg P