Monôme

que f ∈ L2 (0, T ). b) Écrire le développement de Fourier de f et la relation de Parseval. Que peut-on en déduire ? 197 Chapitre 8 • Fonctions orthogonales Problème 8.2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt On définit la suite des monômes : u n : x → u n (x) = x n n ∈ N. 1 On se place dans l’espace L2 (−1, 1). a) Montrer que les fonctions u n sont bien dans L2 (−1, 1). b) La suite {u n } est-elle orthogonale ? 2 On construit la suite {Pn } de polynômes orthogonaux dans L2 (−1,

2005-03-31 074633 PLASTIC SIDING 2005-03-31 075112 BUILT-UP ASPHALT ROOFING AND WATERPROOFING 2007-12-15 075200 MODIFIED BITUMINOUS MEMBRANE ROOFING 2005-03-31 075323 Ethylene-Propylene-Diene-Monomer Roofing 2004-06-30 075419 Polyvinyl-Chloride Roofing 1999-12-31 075556.14 Hot Fluid Applied Rubberized Asphalt Roofing 2004-06-30 075563 VEGETATED PROTECTED MEMBRANE ROOFING 2005-03-31 076100 SHEET

a. Si une fonction f définie en un point a admet en a un développement limité à l’ordre n alors elle admet un DL en a à tout ordre k inférieur à n. La partie polynômiale du développement limité d’une fonction paire (resp impaire) est une somme de monômes de degrés pairs (resp impairs). Attention : la réciproque est fausse. Remarque Il existe des fonctions ayant un développement limité à l’ordre n en a mais qui ne sont pas n fois dérivables en a. 27 5. Obtention de développements limités Si

Si une fonction f définie en un point a admet en a un développement limité à l’ordre n alors elle admet un DL en a à tout ordre k inférieur à n. La partie polynômiale du développement limité d’une fonction paire (resp impaire) est une somme de monômes de degrés pairs (resp impairs). Attention : la réciproque est fausse. Remarque Il existe des fonctions ayant un développement limité à l’ordre n en a mais qui ne sont pas n fois dérivables en a. 27 5. Obtention de développements limités

peut évidemment rapatrier sur la base des monômes xi , i = 1, . . . , n. Exemple (n = 15) : X=[100*float(i)/L for i in range(0,40)] Y=[float(1/(1+25*X[i]^2)+0.25*random()) for i in range(0,40)] n = 15 orth = orthopoly(n,X) Calculons les coefficients de la solution sur la base des polynômes orthogonaux : coeff= [sum(Y[j]*eval(orth[i],X[j]) for j in range(0,len(X))) for i in range(0,n)] On peut ensuite transformer ce résultat dans la base des monômes xi , i = 0, . . . , n, afin par exemple de

[X ] alors P + Q ∈ Rn [X ]. 1.3. Vocabulaire Complétons les définitions sur les polynômes. Définition 20 – Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type a k X k ) sont appelés monômes. – Soit P = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 1 X + a 0 , un polynôme avec a n = 0. On appelle terme dominant le monôme a n X n . Le coefficient a n est appelé le coefficient dominant de P. – Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polynôme unitaire. Exemple 42 P(X ) = (X − 1)(X n + X n−1 +

x, y ∈ {−2, +2}. x et y doivent donc être presque orthogonaux, ce qui contredit la définition de Q′ . Proposition 3. Le même résultat est vrai pour les polynômes F y (x) à n − 1 variables x2 , . . . , xn obtenus comme suit : on décompose Fy (x) en monômes, on retire la variable x1 , et on réduit toutes les puissances plus élevées des autres variables en substituant x1 = 1, et x2 = 1 si i > 1. Les polynômes F y (x) ont un degré au plus égal i à q − 2. Les vecteurs x ∈ Q ⊆ {+1, −1}n satisfont tous x1

paramètres de cette formule de quadrature sont tels que l’intégration soit exacte pour les polynômes de degré le plus élevé possible. Cette formule ayant 2ng paramètres {wi , ξi }, on va pouvoir imposer 2ng conditions : i.e intégrer exactement tous les monômes ξm pour m = 0, 2ng − 1. La formule d’intégration avec ng points de Gauss va permettre d’intégrer exactement tous les polynômes de degré ≤ 2ng − 1. Par exemple avec 2 points de Gauss on peut intégré exactement des polynômes de degré ≤ 3. Cette formule

in very early stages (Nielsen et al, 1985). Any bacterial recess should be eradicated to avoid recontamination in time where bacterial equilibrium is very delicate. Residual roots are extracted; viable crowns and bridges can be repaired with glass monomer cemented if they start to sow deficiencies. Crown and root caries are treated. The use of dental dam can be very helpful to maintain mouth opening and to avoid being disturbed by tongue movements. Even though it generates anxiety it also avoids instrument

¤ Théorème. Les fonctions puissances, polynômes, racine carrée et valeur absolue sont continues leurs ensembles de définition. Preuve. • La fonction identité est trivialement continue, donc xn = x × x × · · · × x aussi (récurrence). Par suite, un monôme an xn est continu et finalement un polynôme an xn + · · · + a1 x + a0 aussi. √ √ |x − a| |x − a| √ √ • On remarque que | x − a| = √ a pour limite 0 lorsque x → a. Ainsi x+ a a √ √ lim x = a et donc la fonction racine carrée est continue en a = 0. x→a