Monôme

fiche n° 10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout

un polynôme de [X] ou de [X]. P = (1 + i ) − (2 + 5i ) X est un polynôme de [X]. P = 2X + 3 est un polynôme de /2[X]. P = 2 est un polynôme de [X ], [X], [X] ou de [X]. Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle monôme tout polynôme P = (a0, a1, a2,......., an, ........) de A[X] tel qu'un unique ak soit non nul. Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. Soit P = (a0, a1, a2,......., an, ........) un polynôme de A[X]. Si P est non nul, le plus grand

alors P + Q ∈ Rn [X ]. 1.3. Vocabulaire Complétons les définitions sur les polynômes. Définition 2 – Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type a k X k ) sont appelés monômes. – Soit P = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 1 X + a 0 , un polynôme avec a n = 0. On appelle terme dominant le monôme a n X n . Le coefficient a n est appelé le coefficient dominant de P. – Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polynôme unitaire. Exemple 3 P(X ) = (X − 1)(X n + X n−1

Lycée O ZENNE D EVOIR SURVEILLÉ ECE.5 2014 - 2015 Devoir surveillé n° 2 La clarté et la précision seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Il est indispensable de toujours préciser quelle question ou sous-question vous êtes en train de traiter.Les résultats essentiels, ainsi que les conclusions des questions, devront être soulignés ou encadrés. N’oubliez jamais que c’est la conclusion explicite d’un raisonnement qui doit achever la réponse à une question ou une sous-question. Les

EC1 Devoir Maison N°2 pour le 13 octobre 2011 Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 : [n / 2] n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n   ∑ Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) . ∑ (−1) k =0 k n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X    et calculer P3. 3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour

POLYNÔMES FRACTIONS ALGEBRIQUES Gérard Buzaglo MathématiqueMATH 436 - Lidec Extraits: - Essentiel - Mathématique 2000 MATH 436 - Guérin 1. Polynômes 1.1 Monôme 1.2 Apérationsentre Monômes 1.3 Polynôme 1.4 Sommeet differencede polynômes 1.5 ldentitésremarquables 1.6 Quotientde polynômes 1.7 Théorèmedu reste 2. Factorisation...... simple 2.1 Mise en évidence 2.2 Mise en évidencedouble 2.3 Difference de deux carrés en 2.4 Factorisation plusieursétapes 2.5 Trinômes carrésparfaits 2.6 Discriminant

Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une somme de monômes. • Une valeur

I. Polynômes Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est

POLYNÔMES 2 1 Les monômes A Définitions – Un monôme est le produit d’un réel, appelé coefficient, par une partie littérale, produit de puissances, à exposants naturels, d’inconnues représentées par les lettres x, y, z, ... – Le degré d’un monôme par rapport à une inconnue est l’exposant de cette inconnue. Exemples : 5x2 y 3 est un monôme en x et y, 5 est le coefficient ( partie numérique ) et x2 y 3 est la partie littérale dont x et y sont les inconnues. C’est un monôme du deuxième degré

et limites 16 monômes - définition : x → a.x n avec n ∈ N et a ∈ R est un monôme domaine de définition : R propriétés de symétrie : les termes de fonction "paire" et "impaire" proviennent des fonctions monômes. En effet : - si n est pair, a.(−x)n = a.x n : fnct paire - si n est impair, a.(−x)n = −a.x n : fnct impaire variations : - le monôme x n avec n > 0 pair est une fonction strict. décroissante sur ] − ∞; 0] et strict. croissante sur [0; +∞[ - le monôme x n avec n impair est