Matrice aléatoire

Montrer que la probabilité de l'évènement R est égale à 1529. Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales : A 1 ,A 2 , ⋯, A n forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire. Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p( B )=p( B∩ A 1 )+p( B∩ A 2 )+⋯+p( B∩ A n ) Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs

Plan du cours 1. Introduction 2. Bases des probabilités 3. Variables aléatoires (discrètes et continues) 4. Vecteurs aléatoires 5. Convergences en loi 6. Estimation 7. Test 8. Analyse de la variance 3 1) Introduction Probabilités Modèle 4 Statistiques Réalité Probabilité Estimation Hypothèses Echantillon Test Risques 1) Introduction Définition. 5 1) Introduction Une expérience aléatoire se décrit mathématiquement par la donnée d’un espace Ω dont les points

méthodes probabilistes, à savoir : 1. Sondage aléatoire (ou élémentaire) : il est basé sur le tirage au sort (soit par le tirage systématique qui ne peut être utilisée que si les unités de la liste sont classés de manière aléatoire soit au moyen d’une table de nombre au hasard. 2. Le sondage stratifié : utilisée lorsque la population mère est divisible en groupe homogène (appelé Strate), et dans chaque Strate on réalise un sondage aléatoire (sondage stratifié proportionnel où le taux par

des résultats des sondages. Dans la théorie, l’échantillon doit être aléatoire et simple pour garantir l’application des lois de probabilité. Néanmoins, les réalités de la pratique font qu’il est parfois raisonné, c’est-à-dire basé sur des critères de choix qui tiennent compte des réalités du terrain. Même s’il est raisonné, beaucoup de recherches empiriques ont révélé que les échantillons qui sont à la fois raisonnés, aléatoires et simples fournissent des résultats qui sont de qualité scientifique

à10−2 près. 5 points Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0,1. 1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec

(X = 2) E2 E3 (X = 2) 0, 95 E3 (X = 1) 0, 8 0, 1 E2 0, 05 E3 (X = 2) 0, 9 E1 0, 95 0, 05 E3 (X = 1) E2 E3 (X = 1) 0, 95 1. Représentons un arbre : (voir ci-dessus) E3 (X = 0) X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. a. X peut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3. b. (X = 2) = (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc : p(X

considère un actif dérivé F2 -mesurable H : Ω → R+ (c’est un un contrat assurant à son détenteur le flux H à la date terminale 2). Il est dit réplicable (ou simulable) s’il existe un portefeuille autofinancé Φ telle que V2Φ = H. On note H la variable aléatoire définie sur Ω par : H(ω1 ) = 0, H(ω2 ) = 0.25, H(ω3 ) = 4.25, H(ω4 ) = 1.5, H(ω5 ) = 3.5. 3.a. Déterminer le prix de l’actif aux dates 0 et 1, i.e. la valeur du portefeuille associé à une stratégie autofinancée Φ permettant de dupliquer l’actif dérivé

On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l'exercice sont indépendantes. 1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. a. Démontrer que: p(X = -1) = ( n+lO 2)(n+9 ) . 2 b. Calculer, en fonction de n, la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X. c. Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut : E(X) = -6n -14n+360

positif. Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Exprimer l'espérance mathématique de X en fonction de m. c)On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle. Déterminer

1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d’Économie & Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités Chapitre VI : Variables aléatoires à densité 1 Généralités 1.1 Introduction • On considère l’épreuve aléatoire suivante : « on tire un nombre réel quelconque au hasard dans [0, 1] » . On suppose les tirages équiprobables. √ • Quelle est la probabilité que ce nombre tiré soit égal à 1 ? 0, 65 ? 2 ? 17 ? On note X la V.A.R. égale