Matrice aléatoire

Semestre : IV Sections : A , B et C Module : Méthodes Quantitatives III Matière : STATISTIQUE III Responsable de la matière : Adil ELMARHOUM Traiter les trois exercices suivants : (Documents non autorisés) Exercice 1 On admet que la variable aléatoire X qui prend comme valeurs les résultats de la pesée d'un même objet donné suit une loi normale de moyenne et d'écart type inconnus. On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet : masse en grammes 72,20 72,24 72,26

de boules R), E(X) est du signe du trinôme 20  20  −2 ( 3n 2 + 7n − 180 ) = −2 ( 3n 2 + 7n − 180 ) = −2  n −  ( n + 9 ) qui est positif pour 0 < n < (donc au plus 6 boules R). 3  3  2. Si Y désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouge à chaque tirage, Y suit une loi binomiale de B(20, p = n ). n + 10 On cherche n tel que P(Y ≥ 1) ≥ 0,999 ⇔ 1 − P(Y = 0) ≥ 0,999 ⇔ P(Y = 0) ≤ 0, 001 . Mais P(Y = 0) =   10    n + 10  20 1 n>0 ր 10

z = r ( cos argz + isin argz )S Exemple : La forme trigonométrique de est : Dérivée Fonctions usuelles : Propabilités Espérance mathématique de la variable aléatoire = E(x) = p( x =x1 ) . x1 + ....... + p ( x=xn ) . xn Variance de la variable aléatoire = V(x) = p( x=x1 ) . ( E(x) - x1 ) ² + ........+ p ( x = xn ) . ( E(x) - xn )² L'écarte-type =

les paramètres : Y = aX+b * Modèle aléatoire : terme d’erreur intégré : Y = aX + b + Ԑ 1. Présentation – spécification et hypothèses du modèle Yt = aXt + b + Ԑt avec t = 1, 2….,N Ԑt est un terme aléatoire (terme d’erreur ou perturbation). Il y a N observations sur Y et X Hypothèse sur Y et X  * X est observé sans erreur (certaine, donnée), indépendante de Ԑt * Y est une variable aléatoire par l’intermédiaire de Ԑt, terme aléatoire. Hypothèses sur Ԑt (hypothèses stochastiques)

moins un des deux collyres » fait référence au OU inclusif, c'est-à-dire P ( A ∪ B ) . On utilise la formule : P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce

Par conséquent, qn = 0.35 × ( −0.6 )n −1 et comme pn = qn + 0,4, on a pn = 0.4 + 0.35 × ( −0.6 )n −1 . c. On a alors p6 = 0.4 + 0.35 × ( −0.6 )5 ≈ 0.373 arrondi au millième (cohérent avec l’énoncé de la partie 2 !). PARTIE 2 Notons X la variable aléatoire qui désigne le nombre de déplacement du service durant ce mois. Les interventions dans les différentes entreprises étant supposées indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0.373. Ainsi, p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 −

3. Si Motus choisit les croquettes, il boit 1 litre d’eau après son repas, s’il choisit la soupe il ne boit que ½ litre d’eau. On note la quantité d’eau bue par le chien après ses repas pendant 3 jours consécutifs. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de litres d’eau bue par le chien. On suppose que les choix du chien sont indépendants d’un jour à l’autre pendant ces 3 jours. 3. a. Quelles sont les valeurs possibles de X ? 3. b. Établir la loi de probabilité de X. 3. c. Calculer

faire en sorte que les divers composants de la pop figurent dans l’échantillon dans des proportions identiques à celles qu’elles ont dans la pop mère.4/ il existe deux catégories de techniques d’échantillonnage: - sondage aléatoire ou probabiliste qui génère des échantillons aléatoires - sondages par choix raisonné génèrent des échantillons empiriques B) ECHANTILLON PROBABILISTE Il faut que chaque élément ait la même probabilité qu’un autre d’appartenir à l’échantillon 1/ Constituer une base de

la production. Déterminer une estimation par intervalle de confiance à 95% de la masse moyenne µ de la production. Le responsable de fabrication des camemberts « Le moine gourmand » souhaite savoir quelle taille minimale donner à un échantillon aléatoire simple pour obtenir un intervalle de confiance pour µ, au niveau 95 %, d’amplitude inférieure à 1. a) On indique au responsable que l’on ne peut pas répondre à sa question sans un renseignement supplémentaire sur la variance de la production. Pourquoi

d'indisponibilité de 0,01, la loi de probabilité associée au nombre de camions neufs indisponibles un jour donné est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,01. Notons I l'évènement "un camion neuf est indisponible". La réalisation de trois expériences aléatoires successives et indépendantes les unes des autres peut être représentée par l'arbre ci-dessous : La probabilité de l'évènement T : "tous les camions « neufs » sont indisponibles" est : 0,013=0,000001 Arrondie au millième la probabilité de