Logarithme complexe

4.4 Les fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.1 La fonction logarithme népérien (ln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.2 Fonction logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5.3 Papier semi-log . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 Aire du triangle gris  ∫1 ln(x)dx  aire du rectangle 4 3 × ln(4)  ∫1 ln(x)dx  3 × ln (4) 2 4 3 × ln(2)  ∫1 ln(x)dx  6 × ln (2) 8   Avec f (x) = x ln x – x, on a f ’ (x) = ln x. La fonction f 8  est donc une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; + [. 9 9  a) f (x) = 2x – 2 b) Pour tout x de , F’ (x) = 2x – 2 = f (x) et F(0) = 02 – 2 × 0 = 0. c) et d) ᏯF ᏯG 1 1 1 +2− +2= 4 4 4 3 3 5 45 5 c) ∫1 5xdx = ⎡ x2 ⎤ = − = 20 ⎣2 ⎦ 1 2 2 4 1 5 1 5 4 d) ∫ −2 u + du = ⎡ u 2 +

47 Unité 2 Primitives, logarithmes et exponentielles 89 Séquence 1 Fonctions primitives ; calcul intégral ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 91 Séquence 2 Fonction logarithme népérien ..............

peut ˆetre g´en´eralis´ee au cas des fonctions convexes et des fonctions concaves (Partie vi). Ces fonctions sont particuli`erement utiles en ´economie. Un exemple classique de fonction convexe est celui de la fonction exponentielle et la fonction logarithme donne l’exemple d’une fonction concave. Une bonne maˆıtrise de ces fonctions d’usage courant (ainsi que de quelques autres) est donc indispensable `a la compr´ehension du reste de ce cours (Partie ii). Certaines quantit´es mod´elis´ees par une fonction

fonctions ne suffisent pas pour les besoins de l’analyse. Pour la résolution d’équations différentielles par exemple (une tâche fondamentale en physique), ou même simplement pour trouver des primitives, il faut construire de nouvelles fonctions : le 1 logarithme népérien comme la primitive de x → s’annulant en 1 n’est pas le seul x 1 1 , ou même de ? exemple : quelles sont les fonctions primitive de x → √ 2 1 + x2 1+x C’est ce que nous allons découvrir dans ce chapitre. Les fonctions étudiées ici ne sont

Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici une présentation naïve. Exemple introductif : si beaucoup de grandeurs, tels les poids, les bénéfices, les durées, s’ajoutent, d’autres valeurs, tels les indices, se multiplient ; supposons ainsi une population animale qui s'accroît de 3 % chaque année, si elle part de la taille P 0, elle vaudra les

chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. • Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R. • La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[. A retenir sur le fascicule de TD • Les dérivées des fonctions usuelles et leurs domaines de validité. • Les formules de dérivation d’une somme

et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral..................................................................................... 15 I. Primitives 15 II. Intégrales 16 Chapitre IV : Logarithme, Exponentielle, Puissance .............................................. 19 I. Fonction logarithme neperien 19 II. Fonction exponentielle 20 III. Fonction exponentielle de base a 21 IV. Croissances comparées 23 Chapitre V : Statistiques .........................................................

= ½ x -∞ 0 +∞ f(x) 0 +∞ -∞ 0 La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole d'équation y = 1/x. Cette courbe admet l'origine du repère comme centre de symétrie. 6/ La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien, noté ln, est la fonction définie et dérivable sur ] 0 ; +∞ [ telle que ln'x = 1/x et ln1 = 0 On dit aussi que la fonction ln est primitive sur ] 0 ; +∞ [ de la fonction qui à x associé 1/x qui s'annule en 1. Sens

ordre. Les solutions sont respectivement : y = keax et y = keax -b/a On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0) = 1 étant supposée connue, par exemple en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur R, telle que f(x + y) = f(x) f(y) et f(0) = (0) : Les fonctions x a(x), x b(x) et x c(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à