Chapitre

6

Intégration

1. Page d’ouverture

• Énigme ✱

Le domaine coloré en rose est constitué de différents rectangles. 1er rectangle : aire = (11 896 – 5 963) × 5,5 % = 326,315
2e rectangle : aire = (26 420 – 11 896) × 14 % = 2 033,36
3e rectangle : aire = (70 830 – 26 420) × 30 % = 13 323
4e rectangle : aire = (90 000 – 70 830) × 41 % = 7 859,70
L’impôt dû vaut :
326,315 + 2 033,36 + 13 323 + 7 859,70 = 23 542,375 €.

5 a) Il semble que la fonction f est toujours positive
5
sur l’intervalle [–3 ; 4].
b) Pour tout x dans l’intervalle [–3 ; 4], e x et e x + 1 sont strictement positifs, donc f (x) l’est aussi.
6 a) À l’aide de l’écran ci-après obtenu en ajustant
6
la fenêtre graphique, on peut conjecturer que f (x)  g(x) sur ]– ; – 1[  ]1 ; + [, f (x)  g(x) sur ]– 1 ; 0[ et f (x) = g(x) en x = – 1, x = 0 et x = 1.

• Énigme ✱ ✱

• Dans le sens de la longueur, on peut en placer 75 car
25  0,33 ≈ 75,75…
• Dans le sens de la largeur, on peut en placer 48 car
16  0,33 ≈ 48,48.
Il y a donc 75 × 48 = 3 600 pièces.

2. Vérifier les acquis
1
1

L’aire du trapèze est égale à :
3 × (1+ 2)
= 4,5 unités d’aire
2
soit 4,5 × 0,52 = 1,125 cm2.
2 a) L’encadrement le plus large est fourni par l’in2 tervalle ]40 ; 80[. Des encadrements plus précis sont possibles, par exemple l’intervalle ]52 ; 66[.
3
3

f (x) f ’ (x)

5x + 3
5

x2
2x

f (x)

1 4 x 4

f ’ (x)

x3

1 x 1
– 2 x 4
4

1 2 x 2 x x3
3x 2

1 3 x 3 x2 ln x

ex

x

1 x ex

1
2 x

a) Dans la première ligne de commande, on définit
13
la fonction f par f (x) = 1+
. Dans la seconde, on dex mande l’expression de la fonction dérivée de la fonction f.
12
1
b) f ’ (x) = 3 1+
× − 2 x x
− 3 x +1 2
= 2 × x x
− 3 (x + 1) 2
= 2 × x x2
− 3(x + 1) 2
=
x4

( )

( ) ( )
( )

(

)

1
1
− − x2 +1
2
1+ x 2
1
1
=
+ x2 −1
1+ x 2 2
2
(1+ x2 )x 2 2(1+ x 2 )
=
+
−
2
2(1+ x ) 2(1+ x 2 ) 2(1+ x 2 )
2 + (1+ x 2 )x 2 − 2(1+ x 2 )
=
2(1+ x 2 )
2 + x 2 + x 4 − 2 − 2x 2
=
2(1+ x 2 )
4
x − x2 x 2 (x 2 − 1)
=
=
2
2(1+ x ) 2(1+ x 2 )