Linéaire B

. . . . . . . . . . . . . . . 7 11. Matrices 7 7 7 7 8 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . Généralités sur les matrices carrées Matrice d’une application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 21 21 22 22 22 2. Fonctions et

EXERCICE 1: Max Z  2 x1  x2  x3  2 x4  x5 s.c 2 x3  x4  x5  4 (1)  x2  4 x3  2 x4  8 (2) x1  x3  x4  6 (3) x j  0 pour tout j TRANSFORMATION EN UN PROBLEME LINEAIRE A 2 VARIABLES: (1)  x5  2 x3  x4  4 (2)  x2  4 x3  2 x4  8 (3)  x1  6  x3  x4  z  2(6  x3  x4 )  4 x3  2 x4  8  x3  2 x4  2 x3  x4  4  z  12  2 x3  2 x4  4 x3  2 x4  8  x3  2 x4  2 x3  x4  4  z   x3  3x4 D’après les conditions de positivité des variables :

⊂ Keru et que dim(Keru) = n − r, on peut compléter la famille libre (ei )1≤i≤r de Keru en une base (ei )1≤i≤n−r de Keru. ′ Puisque G est un supplémentaire de Keru, B ′ = (ei )1≤i≤n est une base de E et par construction, pour 1 ≤ i ≤ n − r, ′ ′ ′ on a u(ei ) = 0 et pour n − r + 1 ≤ i ≤ n on a u(ei ) = ei−(n−r) . Par suite, dans la base B ′ , la matrice de u est bien de la forme voulue. 4. Les découpages effectués permettent un calcul par blocs :    A1 A1 A2 A3 0 0 Ir v ∈ C(u) ⇔  0 0 0   A4 A5

automorphisme de E. Alors u−1 est un automorphisme de E. Ex. 25. Soit E un K-ev. Alors l’identit´ de E est un automorphisme de E. e Notations 26. a) Soient E, F deux K-ev. On note LK (E, F ) l’ensemble des applications de E dans F qui sont lin´aires. e b) Soit E un K-ev. L’ensemble des endomorphismes de E, LK (E, E), est not´ LK (E). e c) Soit E un K-ev. On note GLK (E) l’ensemble des automorphismes de E. Rq. 27. Dans les notations pr´c´dentes, lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion, on omet e e

mensuelles d’un élève au cours des cinq premiers mois de l’année scolaire numérotés de 1 à 5. Mois xi 1 2 3 4 5 note yi 8 9 12 12 13 y x =3 x = 3 et y = 10,8 donc le point moyen G du nuage représenté ci-dessus a pour coordonnées (3 ; 10,8). b) variance - covariance Pour étudier la dispersion de chaque variable x et y, on peut calculer leurs variances : 1 n 1 n 1 n 1 n Vx =  (xi – x )² = n  xi² – ( x )² et Vy = n  (yi – y )² = n  yi² – ( y )² n i=1 i=1 i=1 i=1 Mais il est utile d’introduire

Donnez l'équation de la droite des moindres carrés sous la forme y=ax+b (a et b sont les -2 arrondis à 10 près des valeurs lues sur la calculatrice). Représentez la droite sur le graphique. 3) Le nuage de points permet d'envisager un ajustement par la parabole P qui passe par des points A(1;2,25) et B(10;27), et qui a pour équation y=ax2+b où a et b sont deux nombres réels a) Déterminez a et b et donnez l'équation de la parabole P. b) Représentez la parabole P sur le graphique. 4) Dans cette question

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π

Babyloniens n’hésitaient pas à faire une interpolation linéaire pour trouver des valeurs approximatives... On trouve un exemple clair de l’usage pratique d’interpolation avec des tables exponentielles dans un texte-problème qui demande combien de temps il faut pour qu’un capital double si le taux d’intérêt annuel est de 20 %. La réponse est 3;47,13,20, soit 3 ans 47/60 13/3600 20/216000. Il semble très clair que le scribe a utilisé une interpolation linéaire entre les valeurs s (1;12)3 et (1;12)4 , d’après

impôt à l’issue des trois premières années. b) Calculer le taux de baisse annuel moyen que doit appliquer le gouvernement au cours des deux dernières années pour que l’objectif soit atteint. Exercice 2: Afin d’acquérir et d’aménager une boutique au centre ville, un investisseur décide de contracter un emprunt d’un montant de 100 000 euros. Dans le but d’obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux banques A et B. 1) La banque A lui propose de rembourser ce

positive et de qualité moyenne Remarques : 1. Le coefficient de corrélation nous donne des informations sur l'existence d'une relation linéaire (sous forme d'une droite) entre les deux grandeurs considérées. Un coefficient de corrélation nul ne signifie pas l'absence de toute relation entre les deux grandeurs. Il peut exister une relation non linéaire entres elles. (cf. exemple (f) ci-dessus: la connaissance de X nous donne des informations sur la valeur de Y). 2. Il ne faut pas confondre