Image vectorielle

co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθ est ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe. e d. Il vient imm´diatement que la compos´e de deux applications semi-lin´aires est lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej )

de points (A,B) ; (C,D) et (E,F) représentent le même vecteur. E A = Origine du vecteur [pic] ; B = extrémité du vecteur [pic] . A C Rq : [pic] = vecteur nul ; distance AB = [pic] norme du vecteur [pic] 2) Egalité vectorielle : On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même longueur. On note [pic] Si [pic] alors ABDC est un parallélogramme Si [pic] alors [pic](C) = D , D est le translaté de C par la translation de vecteur

est un op´rateur vectoriel e e e L = −i r × dont les trois composantes sont Lx Ly Lz ∂ ∂ −z ∂z ∂y ∂ ∂ = −i z −x ∂x ∂z ∂ ∂ = −i x −y ∂y ∂x = −i y (3) (4) o` nous avons adopt´ le syst`me d’unit´s atomiques : u e e e e = 1, m = 1, = 1. Le moment cin´tique e 2 Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant

. . . . . . . . e 3.2.2 Familles g´n´ratrices . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Familles libres et familles li´es . . . 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 3 5 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 17 18 18 20 21 21 22 23 25 25 26 27 29 29 30 31 33 33 34 34 35 36 38 39 39 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TD de mécanique, fiche n°1 Calcul vectoriel Exercice I : Soient 3 vecteurs définis dans le repère orthonormé direct B[pic]. [pic] a) Montrer que ces trois vecteurs forment une base B’. b) Donner la matrice de passage de B à B’ . Exercice II : Montrer que les vecteurs[pic]forment une base B’. Déterminer les composantes du vecteur [pic] dans cette base  en utilisant la matrice de passage de la base B [pic]à la base B’. Exercice III : Calculer les produits scalaires des vecteurs :[pic]

“Calcul vectoriel” ..................................................................................................... 16 Vecteurs ............................................................................................................ 16 Barycentre......................................................................................................... 19 Produit scalaire ................................................................................................. 23 Produit vectoriel....

................................................................................ 5 II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ............................................................................................ 6 II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux ............................................................................................................ 7 III- Projection - Projection orthogonale .............................................................................

divise n – n admet au moins dix diviseurs appartenant à N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que la

________________________________________________________________________________________________________________________ appliquèrent aux problèmes de géométrie. En fait, ce calcul quaternionesque fut quelque peu éclipsé par le calcul vectoriel classique (avec produits scalaires, vectoriels, mixtes, etc.), aussi bien en géométrie qu’en mécanique rationnelle. Cependant, depuis une vingtaine d’années, nous assistons à une réapparition de ces quaternions, notamment dans la résolution de certains problèmes de pilotage