Image vectorielle

F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc une base de F c) pour tout entier n , F n commute

Repères et coordonnées Formule de la distance Coordonnées du milieu Equation réduite Propriété : Dans un repère : - Toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = m x + p [1]. - Toute droite d parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : x = k [2]. Réciproquement, toute équation de la forme [1] ou [2] est une équation de droite. Définitions : * L’équation y = m x + p ou l’équation x = k est appelée équation réduite de la droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Composition de la surdiagonale base associée à une réduite de Jordan 1.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 DUALITE DANS LES ESPACES VECTORIELS 2.1 DUAL D’ UN ESPACE VECTORIEL . . . . . . . . . 2.2 BASE DUALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 BIDUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 ORTHOGONAL DUAL . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 TRANSPOSEE D’ UNE APPLICATION LINEAIRE

l’endomorphisme de Rn [X] d´fini par L(P ) = X n P e endomorphisme diagonalisable de Rn [X]. 1 X . D´montrer que L est un e ´ ´ Reduction des endomorphismes : theorie Exercice 15 - f ◦ g et g ◦ f diagonalisables ? - L1/Math Sup Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie, et soient f, g ∈ L(E). On souhaite ´tudier e si le fait que f ◦ g est diagonalisable entraˆ que g ◦ f est diagonalisable. On fixe B une base ıne de E et on d´signe par A (resp. B) la matrice de f (resp. g) dans cette base. e 1.

l’intégrale Activité(s) : • Etude de l’espace vectoriel IRn • Etude de l’espace vectoriel des matrices Travail personnel : • Préparation des exercices sur les espaces vectoriels S10. Les fonctions à plusieurs variables - Les dérivées partielles - Applications économiques des dérivées partielles Activités : • Détermination des bases canoniques des espaces usuelles • Comment vérifier si une famille de vecteurs est une base d’un espace vectoriel Activités : • Exercices d’applications • Révision

. . . . . . . . . . . e e 2 Vecteurs 2.1 Rappels sur les vecteurs du plan . . . . . 2.2 Vecteurs en dimension n . . . . . . . . . . 2.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Combinaisons lin´aires . . . . . . . e 2.3.2 Sous-espaces vectoriels engendr´s . e 2.3.3 Familles g´n´ratrices, familles li´es, e e e 2.3.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Vecteurs et syst`mes lin´aires . . . . . . . e e 2.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Produit scalaire et orthogonalit´

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes Groupes quotients 0.4 0.5 0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne

Chapitre 1 : Forme linéaire dualité dans les espaces vectoriels de dimension finie E : un espace vectoriel de dimension finie sur K (K=R ou C) I. espace dual Rappel : ●On note Homk(E,F), l’ensemble des applications linéaires E→F. ● Homk(E,F) est un espace vectoriel, si on le muni des opérations suivantes : (à vérifier) - Si f,gЄ Homk(E,F) alors on note f+g l’application E→F x,y→f(x)+g(x) On voit facilement que f+g est lineaire, f+gЄ Homk(E,F). -Si Homk(E

colles de cette semaine seront ciblées sur : Les matrices en tant que tableaux de scalaires , les opérations et les structures de certains ensembles de matrices La matrice d’une application linéaire et son usage en lien avec noyau , image de l’endomorphisme ou de l’application linéaire associée Questions de cours : Définir la base canonique de M_n,p(K) : énoncé et démonstration Démontrer le théorème : Soit A in M_n(K) . Equivalences : 1) A est inversible 2)

base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice 1  Exercice 2 Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique 1 (P, Q) −→ 0 P (t) Q(t) dt . Est-ce que cette forme bilinéaire symétrique est dégénérée ? Quel est son noyau