Formule topologique

C412 = 495. Noter l’équivalence au problème de comité : On choisit 4 positions (membres) sur 12. Généralisation: code binaire de longueur n contenant k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule du binôme de Newton ): (a + b ) Exemples (a + b)0 = 1 n k = ∑ Cn a n − k b k k =0 n (a + b)1 = C10 a + C11b = a + b (a + b)2 = C20 a 2 b 0 + C21a 1b1 + C20 a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = C30 a 3b 0 + C31a 2 b 1 + C32 a 1b 2 +

− ) u v (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? c) Déterminer le centre de gravité de cette figure. 3 EXERCICE 2 1) 1ère solution. D’après la formule du binôme de newton, on a 6 6 0 6 5 1 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 1 5 6 0 6 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i 0 1 2 3 4 5 6 (1 + i)6 = = 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i. 2ème solution. Mettons 1 + i sous forme trigonométrique et pour cela

b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b bb b bb bb b bb b bb b bb aujourd'hui il nous est arrivé quelque chose d'incroyable avec Léa Roissam, nous sommes sorties de cours de physique en ayant compris le cours de A à Z ou plutôt de formule développée à formule semi-développée !! et encore mieux 8.5/ 10 et 8/10 en anglais, j'ai encore du mal a y croire ! ^^ léa, on est des douées ! * Corinne Ryckébush-Trognon a une nouvelle passion : Les Barbapapas ! il lui manque actuellement Barbouille,

tel que A = aI + B . Calculer B 2 et B 3 . 2. Montrer que pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on a An = an I + nan−1 B + 3. Retrouver la valeur de An à l'aide de la formule du binôme de Newton.  6 4 0 Exercice 10 : Soit A =  −4 −2 0 . Soit B = A − 2I . 0 0 2 2 n 1. Calculer B . En déduire B pour tout n ∈ N, n ≥ 2.   2. En utilisant la formule du binôme de Newton, déterminer An en fonction de n ∈ N. 0 6 0  0 0 . 8       1 1 0 −2 4 5 1 2 1 1 1 2 Exercice 11 : Soient A =  −1 7 2 , P

A ) = ----------------------- . p(B) 92 cours savoir-faire exercices corrigés Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ). 3. Formule des probabilités totales { B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j , B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour

l'adhérence est incluse dans C (0 < r < r < |h| < R < R). On peut alors écrire la formule de Cauchy sur le lacet γ constitué du cercle Cr parcouru dans le sens direct, de la portion de rayon i [r , R ] joignant Cr et CR du cercle CR parcouru dans le sens indirect et de la même portion de rayon parcourue en sens inverse i [R , r ] (voir g 2). Ce lacet est homotope au point h dans C , on peut donc lui appliquer la formule de Cauchy (??) et il vient : g (h) = − 1 2iπ Cr g (z) 1 dz + z−h

Chaîne linéaire : le nom se forme en associant un radical et la terminaison ANE. Le radical indique le nombre d'atomes de carbone de la chaîne. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Radical  EXERCICE 1 : Nommer et écrire la formule semi développée des composés suivants en supposant qu'ils sont tous à chaîne linéaire : C5H12, C6H14, C7H16, C8H18 et C9H20. Vérifier les réponses à l’aide de l’animation : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/alcane.swf Chaîne ramifiée :

Les matrices F recherchées sont donc les matrices de la forme :   0 0 0   e f . F = d −d −e −f Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup Les matrices A= 0 1 , 0 0 B= 1 0 0 0 conviennent. Exercice 6 - Puissance n-ième - avec la formule du binôme - L1/Math Sup On commence par calculer les premières valeurs de B n . On a   0 1 0   B =  0 0 1 , 0 0 0   0 0 1   2 B =  0 0 0 , 0 0 0   0 0 0   3 B =  0 0 0 . 0 0 0 On en déduit alors par récurrence que, pour

. . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.1 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.2 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 20 2.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coefficients binomiaux. Binôme de Newton I) Coefficients binomiaux : ❖ [pic] On considère un ensemble E à n éléments. Une partie de E à p éléments est un sous-ensemble de E à p éléments. 1° méthode : [pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic], ce qui achève la démonstration 2° méthode : Plus subtil : à toute partie A de E à n éléments, on associe son complémentaires qui a n-p éléments. Cette « association »