Formule topologique

Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice 10. Calculer en fonction de Exercice 5. et Démontrer que pour tous réels on a Indication : où voir page 11 Réponse : voir page 12 (on factorisera par et pour pour se ramener à la . deux nombres réels (ou complexes) et un entier Exercice 11. Exercice 6. Factoriser Calculer formule encadrée). Calculer de même Réponse : voir page 12 Formule du binôme de Newton : Réponse : voir page 12

euclidienne de n par 4. Ainsi i^n=i^(4q+r)=〖(i^4)〗^q×i^r=i^r Exemple : i^2008=i^(4×502+0)=i^0=1 ; i^2011=i^(4×502+3)=i^3=-i Identités remarquables 1-z^n=(1-z)(1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n )⟺1+z+z^2+⋯+z^(n-1)+z^n=(1-z^n)/(1-z) ,z≠1 Formule du binôme de Newton et Triangle de pascal NB : les coefficients : peuvent être calculé par le triangle de pascal ci-dessous : Exercice d’application 3: Résoudre dans C l’équation :(3iz+2-i)((1+i)z-1+i)=0 Résoudre dans C X C : {█(2z_1-z_2=i@-2z_1+3iz_2=17)┤

fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans le cas où f est >0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent : • • • la courbe de f, l'axe des abscisses les deux droites d'équations

coefficients binomiaux de manière combinatoire, on verra que l’on peut convenir que n k = 0 pour k > n. Proposition 2.4 Propriétés des coefficients binomiaux Symétrie des coefficients binomiaux Soit (n, k) ∈ N2 tel que k ❶ ➀ ❶ n k 2 Formule de Pascal Soit (n, k) ∈ (N∗ ) tel que k ❶ ➀ ❶ n k 2 Relation utile Soit (n, k) ∈ (N∗ ) tel que k = = n. ❶ ➀ ➀ ➀ ❶ n−1 k n. n k k n n−k + ❶ n. ➀ n−1 k−1 ➀ n−1 =n k−1 Remarque. Ces

sont nuls). m 4 On note, pour j ∈ N et m ∈ N∗ , Tj (m) = m 1) Montrer que k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = kj . k=1 n j=0 n+1 Tj (m). j 2) En déduire une formule de récurrence sur n permettant de calculer Tn (m). 3) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , Tn (m) est un polynôme de degré n + 1 en m qui s’annule en 0 et −1. Solution 1) En utilisant la formule du binôme, on a n+1 (k + 1)n+1 = j=0 donc n+1 j k , j n (k + 1)n+1 − kn+1 = j=0 n+1 j k , j EI 5 et m m k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = k=1 On peut

+ 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn . k=0 (b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn . 2 n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; cn = Rep : bn = 6 2 (c) * Généralisation : si Snp = n kp , montrer la formule de récurence de Pascal (1654) : k=0 p−1 (p + 1) Snp = (n + 1) p+1 − p+1 k k=0 Snk . (d) * Calculer dn = Sn4 et vérifier que dn = (6an − 1) bn /5. 2. : Remplir le tableau après avoir calculé les sommes correspondantes : ai,j = 1 ai j =

6   3.2.2. Formule du binôme. Les formules précédentes permettent de dresser un tableau particulier qui donne les quand on fixe et qu’on fait varier de 0 à . Cette construction particulière s’appelle le Triangle de Pascal. Il est donné ci-dessous : Fig. 3 : Triangle de Pascal Le côté gauche de ce triangle représente les coefficients et le côté droit les , n étant le numéro de la ligne. Le sommet haut du triangle étant la ligne , le coefficient est donc . D’où la formule du Binôme de Newton

0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0 (fm ) × P−1 = PDm P−1 .   v1 = e1 − 2e2 v2 = e1 + e3 4)  v3 = e1 − e2 m 1,   e2 = −v1 + v3 e1 = −v1

16. 2. En déduire que 20098 001 ≡ 2009 mod 16. Partie B On considère la suite (un ) définie sur N par : u0 = 20092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un + 1)5 − 1. 1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5. b. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n, 3 2 4 un1 = un un + 5 un + 2un + 2un + 1 . c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5n+1 . 2. b. Démontrer alors que 20098 001 ≡ 2009 mod 625. Partie

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc