Formule topologique

Précompacité et théorème d’Ascoli 1 Introduction Le théorème d’Ascoli est un profond résultat d’analyse fonctionnelle. Il nous servira à illustrer la puissance du formalisme topologique sur des espaces abstraits comme les espaces de fonctions. Afin d’établir sa démonstration, nous introduirons la notion d’espaces précompacts. La précompacité nous donnera un critère de compacité des espaces complets. 2 Précompacité On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). p ¦ ¢ £ £ £ ¤¤¥¤¢ ©

DEROUSSEN Nadège – LAPLAGNE Hervé PROJET OPNET Télécom. 2ème Année 1 2002 / 2003 DEROUSSEN Nadège – LAPLAGNE Hervé Introduction : L’environnement OPNET permet la modélisation et la simulation de réseaux de communication grâce à ses bibliothèques de modèles ( routeurs, commutateurs, stations de travail, serveurs … ) et de protocoles ( TCP/IP, FTP, FDDI, Ethernet, ATM … ). Le module Radio OPNET permet la simulation des réseaux de radiocommunication : hertzien, téléphonie cellulaire

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

Topologie Générale - UE045 - Année 2009-2010 2009 Contrôle continu Durée - le 14 octobre : 1 heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit (E, T) un espace topologique. 1. De combien de topologies peut-on munir E s'il contenait 2 éléments? 2. Soit A un sous ensemble de E. Vérifier que GEA = GgA. et que GEA. c;A = o 3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie

ssi  x , y  A 2 , f (x )  f ( y )  k x  y   Ex : les applications x  x , x  d  x , A  sont 1-Lipschitziennes Prop : Toute fonction Lipschitzienne sur A est continue sur A 6°) Caractérisation topologique : Th : f une application de A dans F , f est continue sur A ssi l’image réciproque par f de tout ouvert de f ( A ) est un ouvert de A Ce théorème s’applique aussi aux parties fermées Ex : GLn ℝ est un ouvert de Mn ℝ V ) Espace

les appliquées sur des exemples de fractales dans la nature et dans le corps humain . I/ Les propriétés des fractales Un objet fractal : - a une dimension strictement supérieure à sa dimension topologique (de base) - a une dimension non entière - fait apparaître la notion de l'infini (ex: longueur se répète à l’infini) - possède une autosimilarité ; c'est-à-dire qu'il est possible de retrouver des motifs de la fractale dans son ensemble à l'intérieur

se déduire directement de l'inégalité de Jensen.) Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de Lp si p ≥ 1. Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de Lp est Lq (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞4, et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie. Généralisation[modifier | modifier le code] L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

préférence sous hotte. 2. Donner la formule topologique de l’acide acétique et du butan-1-ol. (1 pt) Les formules topologiques demandées sont représentées en figure 1. O OH OH Acide éthanoïque Butan-1-ol Figure 1 – Formules topologiques des réactifs 3. Représenter en formule topologique les produits de la réaction d’estérification. (1,5 pt) Les formules topologiques demandées sont représentées en figure 2. O O Figure 2 – Formules topologiques des produits Le molécule d’eau ne possédant

Passer de la formule semi-développée à l’écriture topologique Donner l’écriture topologique des espèces ayant la formule semi-développée suivante : A | | B | | C | | D | | E | | | Passer de la formule semi-développée à l’écriture topologique A | 3-chlorobut-1 ène | B | 2-méthylpentane-1,4-diol | C | Acide 4- chlorobutanoïque | D | (2 E)-3- éthylhex-2-ène | E | 3-chlorobutanal | Passer de l’écriture topologique à la formule semi-développée A | | B | | C

Familles (et groupes caractéristiques) Nomenclature et éléments de structure I - Alcanes non cycliques Un alcane est un hydrocarbure (éléments C et H) ne comportant que des liaisons covalentes simples. La formule brute d’un alcane (non cyclique) peut s’écrire CnH2n+2 avec n entier naturel > 0 a) Alcanes à chaîne linéaire (ce qui signifie pas de cycle) non ramifiée Nomenclature Les quatre premiers alcanes ont un nom consacré par l'usage : méthane CH 4 éthane C2H6 CH3 – CH3 propane C3H8 CH3 - CH2