Espace vectoriel euclidien

• Collisions •Travail • Forces •Potentiel • Cinématique Bases Compléments 2 physiques 1 mathématique • Gravitation • Changements de repères • Deux corps + résolution • Repères non Galiléens Applications 1 vectoriel 2 scalaires Extensions LETTRES GRECQUES ∞ ※ alpha ％ ⊃ nu ∴ 〒"≫ bêta ＃ ∪ xi ou k si ♂ → gamma ＆ ∩ omicron ♀ ← delta ＊ ∧"∬ pi ° ↑ epsilon ＠ ∨"Ａ rhô ′

résultats probabilistes essentiels à la compréhension des méthodes développées dans les chapitres suivants. 1.1 1.1.1 Rappels sur la théorie de la mesure Mesures Une mesure est une fonction positive de l’ensemble (tribu) des événements A d’un espace mesurable (Ω, A). • Tribus Dans toute la suite nous adoptons les notations standards : – Ω est un ensemble (fini ou infini). – P(Ω) est l’ensemble de tous les sous-ensembles (parties) de Ω. Rappel 1 (Dénombrabilité) Soit E un ensemble. E est dit dénombrable

ne doute pas que vous ne le sachiez, le rappel est pour comparaison ultérieure) : U= W - V (Loi de composition des vitesses en mécanique classique) C’est propre, c’est simple, et c’est vectoriel2. 2 Au sens de la géométrie vectorielle euclidienne. 20  En relativité, c’est assez différent : Si V et W sont parallèles pour l’observateur (comme sur la figure 15), nous avons U= W-V 1- W.V C2 (Loi de composition des vitesses en relativité3) Lorsque V et W ne sont pas

l’étude conjointe des vecteurs d’un point de vue géométrique et analytique. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique est encouragée pour émettre des conjectures. Des algorithmes de difficultés croissantes sont demandés aux élèves. ■ G1 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ iy avec le point d’un plan euclidien ayant comme coordonn´ees x et y dans un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes fix´e. En utilisant pour le mˆeme point encore des coordonn´ees polaires, on obtient la repr´esentation g´eom´etrique suivante du nombre complexe z = x + iy = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) (voir fig. 1.2). Im z = x + iy iy |z | ϕ x Re Fig. 1.2 – Le plan complexe L’addition de deux nombres complexes correspond alors a` l’addition vectorielle (voir fig. 1.3). Pour la repr´esentation

PROPRIETES UTILISEES Notions de topologie g´n´rale e e Celles que j’utiliserai sont les suivantes. Ouverts, ferm´s. L’espace C, corps des nombres complexes(2) , est muni de sa topologie d’espace e vectoriel norm´ par |·| (« module » des nombres complexes ou norme(3) euclidienne). e C’est un espace complet, ce qui veut dire que toutes les suites de Cauchy y sont convergentes. Je noterai D(z0 , r) = {z ∈ C | |z − z0 | < r} le disque ouvert de rayon r centr´ en z0 . e Les ouverts sont des r´unions

en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, Hamilton, sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément. • Delaunay, dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée[24] . Faye[25] s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : «Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 101 102 105 110 112 113 114 121 121 121 122 122 124 124 124 126 127 128 128 129 129 130 130 130 131 134 134 135 142 142 6 Courbes planes 6.1 Fonctions d’une variable r´elle ` valeur vectorielle . . . . e a 6.1.1 Limites et continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.1.2 D´riv´e et formule de Taylor-Young . . . . . . . e e 6.2 Courbes param´tr´es planes . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.3 Etude de courbes planes . . . . . . . . .

image e e e e Soit (Ω, A, P ) un espace probabilis´ et X une variable al´atoire r´elle. On note e e e PX la probabilit´ image de P par X, d´finie sur (R, B) par PX (B) = P (X −1 (B)), ∀B ∈ e e B. Soit g une variable al´atoire r´elle d´finie sur (R, B). g(X) est int´grable par e e e e rapport ` P si et seulement si g est int´grable par rapport ` PX et on a alors : a e a E P [g(X)] = E PX [g]. Proposition I.1 Soit X et Y deux variables al´atoires d´finies sur un espace e e probabilis´ (Ω, A, P ). Les quatre

affirma que ce serait certainement le cas si les étoiles en nombre fini étaient distribuées dans une région finie de l’univers. Mais il avait calculé que si, au contraire, elles étaient en nombre infini, distribuées plus ou moins uniformément dans un espace infini, cela n’arriverait pas, car il n’existerait aucun point central vers lequel elles pourraient alors tomber. Cela est un exemple des pièges que l’on rencontre à propos de l’infini. Dans un univers infini, chaque point peut être considéré comme