Espace vectoriel euclidien

identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait. Il est possible de définir une notion d'angle orienté en géométrie euclidienne du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des espaces vectoriels préhilbertiens ou des variétés riemanniennes. Le mot angle dérive du latin angulus, |Les angles

Cons´quences de l’´quation d’Einstein . . . . . e e 2.6.3 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Syst`me du centre de masse . . . . . . . . . . . e 3 Quadri–vecteurs et espace–temps 3.1 Introduction aux quadri–vecteurs . 3.1.1 Tri–vecteurs . . . . . . . . . 3.1.2 D´finition . . . . . . . . . . e 3.2 Espace–temps . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Analogie avec l’espace . . . 3.2.2 Diagrammes de Minkowski 3.3 Intervalle d’espace–temps . . . . . 3.3.1 Analogie avec l’espace . . . 2 . . . . .

it´rations complexes . . . . . . . . . . . e 1.6.2 Les L-systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 M´thode des Iterated functions system (IFS) e 2 Th´orie pour la construction des IFS e 2.1 Notions d’analyse . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les espaces . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Autres . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Fonctions et transformations . . . . 2.1.4 Th´or`me du point fixe de Banach e e 2.2 Th´orie associ´e aux IFS . . . . . . . . . . e e 2.2.1 L’espace des fractales . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 91 91 92 93 94 96 98 99 A Rappels de probabilit´ e A.1 Espace de probabilit´e . . . . . . . . . A.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . A.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . A.4 Quelques in´egalit´es utiles . . . . . . A.5 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . A.6 Moments d’ordre p, espaces Lp et Lp A.7 Variance, covariance . . . . . . . . . A.8 Ind´ependance. Mesures produits . . A.9 Fonction caract´eristique

TENSEURS CHAPITRE 11 • CALCUL VECTORIEL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11.1 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 246 249 253 253 254 256 257 259 260 261 262 VII 11.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE 12 • DÉRIVATION VECTORIELLE . . . . . . . . . . . . . .

définitions . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Exemples d’applications . . . . . . . 1.1.2 Ensemble de définition . . . . . . . . 1.1.3 Changements de variables . . . . . . 1.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Rappels sur la norme euclidienne . . 1.2.2 Normes dans Ên . . . . . . . . . . . 1.2.3 Distance associée à une norme . . . 1.2.4 Ouvert, fermé, voisinage . . . . . . . 1.2.5 Limite, adhérence et ouverture . . . 1.3 Limite et continuité d’une fonction . . . . . 1.3.1 Limite d’une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Conditionnement et indépendance 9.1 Espaces probabilisés . . . . . . . 9.2 Conditionnement et indépendance 9.3 Probabilités totales . . . . . . . . 9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . 10 Intégration 10.1 Intégrale d’une fonction continue 10.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . 10.3 Calcul

. . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 L’espace euclidien Rn . . . . . . . . . . A.1.2 Normes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . A.1.3 Topologie de Rn . . . . . . . . . . . . . A.2 Rappels de calcul diff´erentiel . . . . . . . . . . A.2.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . A.2.2 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . A.2.4 D´eveloppements de Taylor . . . . . . . . A.2.5 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . A.3 Rappels

cinématiques d'un domaine matériel on devra lui associer un référentiel, et d'autre part le Principe Fondamental de la Mécanique s'appuie sur l'existence d'un repère privilégié appelé "Repère Galiléen". Un repère est défini par la donnée d'une base vectorielle associée à une origine. Il est à noter qu'en aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonormée. Bien évidement, pour des questions de simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater

strat´ egie si est faiblement dominante, alors elle est unique ` a avoir cette propri´ et´ e. Exemple 27 Cf Amphi. ou TD 3-2 Equilibre de Nash Notions de quasi-convexit´ e et d’optimum au sens de Pareto: D´ efinition 28 Soit E un espace vectoriel sur R ou un ensemble convexe. On dit que f est un quasi convexe si elle v´ erifie l’une des deux propri` et´ es ´ equivalentes suivantes: 1. ∀α ∈ R, Fα = {x ∈ E/f (x) ≤ α} est convexe 2. ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y)