Équations de Lagrange

e ` e tandis qu’une covariance et une corr´lation n´gative ρ < 0 conduisent ` une e e a baisse de l’´cart type du portefeuille. e Example 3.65. Graphique pour deux actifs de mˆme ´cart types: ER1 = 3; e e ER2 = 2, σ1 = σ2 = 1 et ρ = −1, 0 et 1. Equations du lieu des portefeuille possibles d´fini pour σ 2 ≥ 1+ρ : e 2 68 ER = Centre de l’hyperbole sur axe sans risque 2.5 |{z} ± s | 1 2 (1 − ρ) {z Pente d’une asymptote Esp´rance de rendement. e 4 3.5 3 2.5 2 1.5 10 }

Descartes la probabilité, la possibilité physique Kant et une forme de possibilité trnascendantale « l'illusion naturelle qui consiste à décalquer les problèmes sur des propositions qu'on suppose préexistantes, opinions logiques, théorèmes géométriques, équations algébriques, hypothèses physiques, jugements transcendantaux ; et l'illusion philosophique, qui consiste à évaluer les problèmes d'après leur « résolubilité », c'est-à-dire d'après la forme extrinsèque variable de leur possibilité de solution. »

(ln)o(exp) = I d , ainsi, si y = e x , on aura d'après 1 le théorème des fonctions inverses, (exp) ′(ln y ) = = y , d’où finalement (ln) ′( y ) (exp) ′( x ) = e x , cette propriété très remarquable sera précieuse lorsqu'on cherchera à résoudre des équations différentielles. Résumé Les fonctions usuelles de l’analyse TTP Propriétés de limites ex −1 =1 0 x 2°/ lim x ae x = 0 pour tout réel a > 0 1°/ lim −∞ ex 3°/ lim a = ∞ pour tout r éel a > 0 ∞ x ex 4°/ lim = ∞ pour tout polynôme P à coefficients

e−t sin(tx) dt Exercice 60 [ 03346 ] [correction] [Développement en série entière de la fonction tangente] Soit (an )n∈N la suite réelle déterminée par les conditions n 2 a) en procédant à une intégration terme à terme. b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution. Exercice 55 Mines-Ponts MP [ 02848 ] [correction] Pour x ∈ ]−1, 1[ et α ∈ R, établir xn sin(nα) = arctan n n=1 +∞ a0 = 1 et ∀n 1, an + k=0 an−k =0 k! x sin α 1 − x cos α a) Calculer

Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = ω ′ Σω + λ1 (µp − ω ′ µ) + λ2 (1 − ω ′ e) avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : ∂L λ1 −1 λ2 = 2Σω − λ1 µ − λ2 e = 0 ⇔ ω = Σ µ + Σ−1 e ∂ω 2 2 (2.1) En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : ω′ µ ω′ e = µp ⇔ =1 µ′ ω e′ ω = µp ⇔ =1 λ1

1− 2x π 6 cosx 6 1; 4. ∀n ∈ N∗, ∀t ∈ [ 0 ; 1 ] , 1− t 6 1− tn 6 n(1− t). Correction no 36. Rappel : un bon moyen d’obtenir une équation de droite (AB) est d’utiliser le coeffi- cient directeur yB − yA xB − xA . Ainsi : • une équation de la tangente à f en a est : f ′(a) = y − f(a) x− a (sauf en x = a !) donne y = f ′(a)(x− a) + f(a) (y compris en x = a :-) ) • une équation de la corde joignant ( a, f(a) ) à ( b, f(b) ) est : y − f(a) x− a = f(b)− f(a) b− a (sauf en x = a !) donne y = f(b)− f(a) b−

n+1 → π . 2 Exercice 29 - Série harmonique alternée - L2/Math Spé 1. Remarquons d’abord par récurrence sur n que la dérivée n-ième de f (t) = ln(1 + t) est : f (n) (t) = (−1)n−1 (n − 1)! . (1 + t)n On va appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange à cette fonction entre 0 et 1. Remarquons que si t ∈ [0, 1], on a : f (n) (t) ≤ (n − 1)! On a donc : f (1) − f (0) − n−1 f (k) (0) 1 ≤ , n! n k=1 ce qui en remplaçant les dérivées successives en zéro donne : n−1 ln(2) − (−1)k−1 1 ≤

Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . I.6 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . I.7 Fonctions continues sur un espace métrique Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . I.2 Propriétés des fonctions continues . . . . . I.3 Propriété des valeurs intermédiaires . . . . I.4 Fonctions semi-continues . . . . . . . . . . I.5 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . I.6 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . I.7 Fonctions

avons faite. La conclusion de ce raisonnement est donc que tant que l’égalité ci-dessus n’est pas satisfaite, le consommateur peut toujours augmenter son utilité simplement en modi…ant la composition du panier de biens demandé. Le multiplicateur de Lagrange, , représente ici “l’utilité marginale”du revenu, soit encore l’augmentation de l’utilité du consommateur19 si son revenu augmentait d’une unité. Pour voir cela, considérons le revenu du consommateur comme une variable, i.e., R pe et di¤érentions

Notion de circuit électrique b. Puissance électrique disponible c. Nécessité d’une force électromotrice 3. Lois régissant les circuits électriques a. Loi d’Ohm généralisée b. Lois de conservation (lois de Kirchhoff) c. Résolution pratique des équations en électrocinétique d. Le théorème de Thèvenin Formulaire d'électrostatique Champ électrostatique Créé par une particule: 1 q E( M ) = u 4πε 0 r 2 Créé par n charges ponctuelles: n 1 qi E( M ) = ∑ u 2 i i =1 4πε 0 r i Créé par