Équations de Lagrange

Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = ω ′ Σω + λ1 (µp − ω ′ µ) + λ2 (1 − ω ′ e) avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : ∂L λ1 −1 λ2 = 2Σω − λ1 µ − λ2 e = 0 ⇔ ω = Σ µ + Σ−1 e ∂ω 2 2 (2.1) En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : ω′ µ ω′ e = µp ⇔ =1 µ′ ω e′ ω = µp ⇔ =1 λ1

consid´erons l’´equation `a r inconnues : x1 + x2 + · · · + xr = n. (1.7) Une solution de cette ´equation est un r-uplet (x1 , . . . , xr ) dont la somme des composantes xi (1 ≤ i ≤ r) vaut n. Lorsque les xi sont des r´eels, (1.7) a une infinit´e de solutions. On s’int´eresse aux solutions dont toutes les composantes sont des entiers. Proposition 1.6 r−1 n a) L’´equation (1.7) admet exactement Cn+r−1 = Cn+r−1 solutions ` a composantes enti`eres positives ou nulles ; r−1 b) si n ≥ r > 1, l’´equation (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 12 Continuité des fonctions de n variables 12.1 Éléments de topologie de l’ensemble Rn . . . . . . . . . . 12.1.1 Équation paramétrique d’une droite, d’un segment 12.1.2 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Ensembles ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Ensembles fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5 Ensembles bornés . .

d´g´n´r´ par interpolation consiste ` approcher le noyau continu e e e ee a K par un noyau KN interpolant K par rapport ` x. Soit KN (., y) ∈ CN tel que, pout tout a y∈I : ∀j ∈ {1, . . . , N } KN (xj , y) = K(xj , y) En notant L1 , . . . , LN la base de Lagrange de CN , avec la propri´t´ : ee ∀i, j ∈ {1, . . . , N } Li (xj ) = δij Le noyau d´g´n´r´ KN est d´fini par : e e ee e 5 (3) (4) C’est-`-dire que chaque fonction de CN qui s’annule en ces points, s’annule de mani`re identique. a e 11

éclairés par le soleil couchant ! Que de nuits vainement employées à demander des inspirations au silence ! La vie la plus belle, la mieux remplie, la moins sujette aux déceptions, est certes celle du fou sublime qui cherche à déterminer l'inconnu d'une équation à racines imaginaires. Quand j'eus tout appris, je ne savais rien, et je marchais ! ... un homme qui n'aurait pas eu mon thorax, mon cou, ma boîte cérébrale, eût perdu la raison en désespoir de cause. Heureusement, ce second âge de mon idée vint

fonction 951 = 1, 02456 K 2T 2 − 0 , 003 K 3T 3 K Figure 4.6 10 M ou, après réduction1 : (4.6A) 8 F A 951 = 29 , 71875 KT 6 le choix optimal des facteurs est celui qui minimise la valeur de CT tout en vérifiant cette dernière équation. Ces conditions sont remplies par les valeurs T* et K* qui résolvent le système d’équations suivant : (4.6B) K 200 = T 400 951 = 29 , 71875 KT c’est-à-dire : T* = 8 et K* = 4. Ces valeurs sont les coordonnées du point E. 1 2 5,7 B C CT

S ainsi d´fini co¨ o e ıncide avec R en 1 et −1, R et S sont de degr´ au plus 1, e donc R = S. On a donc identifi´ le reste de la division euclidienne de P par X 2 − 1, sans e connaˆ P explicitement. ıtre a= Polynˆmes interpolateurs de Lagrange o Soit x1 , . . . , xn n nombres r´els deux-`-deux distincts et soit y1 , . . . , yn n nombres r´els. e a e On peut toujours supposer que les xi sont ordonn´s, i.e. x1 < · · · < xn . Le probl`me de e e l’interpolation consiste a trouver

peut se démontrer par la méthode de Lagrange, une autre approche est fondée sur certaines propriétés spectrales des matrices symétriques [LMP95]. L@uS A le Lagrangien : L@uS A a ut X t X uS   @ut uS   IA; S S où est atteint lorsque la dérivée s'annule, (2.6)  est un multiplicateur de Lagrange i.e. une constante. Le maximum du Lagrangien i.e. : @L t (2.7) uS a PX X uS   PuS a H: t Ainsi nous obtenons l'égalité X X uS a uS . Or d'après Lagrange, une condition nét t cessaire et susante

Estimation par M.C. ` L’expression a minimiser sur β ∈ IRp+1 s’´ crit : e n (yi − β0 − β1 x1 − β2 x2 − · · · − βp xp )2 i i i i=1 = y − Xβ 2 = (y − Xβ) (y − Xβ) = y y − 2β X y + β X Xβ. Par d´ rivation matricielle de la derni` re equation on obtient les “´ quations normales” : e e ´ e X y − X Xβ = 0 ` dont la solution correspond bien a un minimum car la matrice hessienne 2X X est semi d´ finie-positive. e Nous faisons l’hypoth` se suppl´ mentaire que la matrice X X est inversible,

termes entre eux. Cette relation peut être exprimée algébriquement par des polynômes, des frations rationnelles, des fonctions transcendantes ou autres. Il faut noter, au passage, qu'une très grande partie des suites ne sont pas dénies par des équations. Comme les suites jouent un rôle primordial dans l'analyse et ça permet de travailler avec le / au lieu du , on se trouve dans l'obligation de vivre avec et de les comprendre comme elles sont et dans leur nature. discret dénombrable continu