Dure Limite

Limite et ordre - Asymptotes Cours CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R) → → Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1. LIMITE et ORDRE 1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite

entourée des méninges. Protection de l'encéphale et de la moelle épinière Le système nerveux central est protégé par : - une structure osseuse : boite crânien et vertèbres. - un enveloppe composée de trois membranes superposées ( les méninges): la dure-mère, la membrane la plus externe, est étroitement unie à la paroi du crâne. Elle contient les veines et les artère qui alimentent les os du crane. l'arachnoïde, la membrane intermédiaire, est constituée par un tissu élastique. Sous celui-ci se situ

sortes de méninges : -La dure-mère : c’est la méninge la plus externe et la plus solide. Elle est acollée à l’os du crâne et tapisse le canal rachidien. -La pie-mère : c’est une enveloppe plus fine directement appliqué sur la surface des organes du système nerveux centrale. Elle forme les plexus choroïdes qui sont des organes qui sécrète le liquide céphalo-rachidien -L’arachnoïde : elle est interposé entre les deux autres, composé de deux feuillet (un pariétal côté dure-mère et le viscéral collé

et le mésencéphale sont recouverts par des débris de la dure-mère. Dans la figure 3.1, ce morceau est complètement enlevé. 3.1 VUE D’ENSEMBLE. On localise facilement la MOELLE ÉPINIÈRE situé tout en bas. La moelle épinière se gonfle pour donner le BULBE. Un morceau de dure-mère recouvre les prochaines structures. Soulevez délicatement ce morceau en tirant par la partie à l’avant. Déchirez doucement et faites basculer le morceau de dure-mère vers vous. Le PONT est maintenant très visible comme

est protégé par la colonne vertébrale. Ses deux structures nerveuses sont aussi protéger par un tissu conjonstif formé de 3 membranes formant les méninges : *la pie-mère : en contact avec le tissus nerveux *l'arachnoïde : couche intermédiaire *la dure-mère : en contacte avec l'os Autre protection existant pour les structures nerveuses : le liquide céphalo-rachidiens qu'ont appelle aussi cérébrospinale. On le retrouve autour et dans l'encéphale mais aussi autour de la moelle épinière. Ce liquide

l'hyperbole d'équation y=1x admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation x=0. Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne ouverte a et &Cscr;f sa courbe représentative. Si la limite de f est infinie quand x tend vers a (x < a ou x > a selon l'intervalle), alors la droite d'équation x=a est asymptote verticale à &Cscr;f. Illustration graphique La figure ci-dessous représente graphiquement les différentes situations où la

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir

Donc pour t 2 [k; k + 1] f (t) f (k) donc Sn (x) f (t)dt et par passage à la limite 1 S(x) Z +1 f (t)dt 1 Les limites existent : Rn 1 – pour (Sn ) par convergence de la série : R n+1 – pour 1 f (t)dt car on a une suite croissante (f positive) majorée par S(x) p x dt t(1+tx2 ) = R n2 1 2xdu 1+u2 x2 = 2 [arctan(ux)]1 = 2 arctan(n2 x) Z +1 n2 2 arctan(x) . Donc en passant à la limite 2 arctan(x) 1 p x dt = t (1 + tx2 ) On a donc pour 1=2 : S(x) Z

U est continue en 0 (question I.2.3) et que x ! dénominateur non nul ) , +1 . donc N 1 X n=1 1 (n + x) 2 est continues en N (somme de frantions rationnelles à N , alors que 1 tend vers (N + x)2 1 (n + x) 2 + U (x + N ) admet une limite …nie en x = 1 (N + x)2 U (x) 5. 1. D’ après le calcul de dérivée au 3.2. on a U (x) = 0 x! N 2 1 < 0 pour x > (n + x)3 n=1 1; +1[ +1 X 1 . donc : U décroît strictementsur ] 2. soit 1 . La fonction (t + x)2 segment [n; n + 1]

abscisse. Autrement dit, pour tout x ≥ x1 , on a f (x) ≥ ax + b. Ceci prouve que lim+∞ f = +∞. Exercice 11 - Fonctions convexes admettant une asymptote - L1/Math Sup 1. Supposons qu’il existe un point x0 tel que f (x0 ) < 0. Par définition de la limite de f en +∞, appliquée à ε = |f (x0 )|/2, on peut trouver x1 > x0 tel que f (x1 ) > f (x0 ). D’après l’inégalité des pentes pour les fonctions convexes, on a, pour tout x ≥ x1 : f (x1 ) − f (x0 ) f (x) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x0 ) ≤ =⇒ f (x) ≥ (x −