Limites et asymptotes
A Limites et infini
Soit f une fonction.

1- Limite infinie en l'infini
Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞
• • x −∞ x −∞

lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ .

Résultats à retenir n • en +∞ : pour tout entier n supérieur à 0 lim x =∞ ; lim x ∞
•
n en –∞ : si n est un entier positif pair, alors xlim x =∞ ; −∞ n mais si n est un entier positif impair, alors xlim x =−∞ . −∞

x ∞

x=∞ .

2- Limite finie en l'infini
Lorsque f (x) peut être rendu aussi proche qu'on le désire d'un réel L pour x suffisamment grand, on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=L . ∞ On définit de manière similaire lim f  x=L . x −∞

Résultat à retenir Pour tout entier n supérieur à 0, lim 1 1 =0 et lim n =0 . n x ∞ x x −∞ x

Asymptote horizontale Lorsque xlim f  x=L ou xlim f  x=L , la courbe représentative de f admet la droite ∞ −∞ d'équation y = L comme asymptote horizontale; cela signifie que lorsque x tend vers +∞ ou vers -∞, la courbe se rapproche de plus en plus de la droite.

3- Limite infinie en x0
Lorsque f(x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment proche d'un réel x0, on dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers x0. On écrit alors xlim f x =∞ . x On définit de façon similaire xlim f x =−∞ . x
0 0

Résultats à retenir
•

sur ]0; +∞[, lim x 0

1 1 =∞ , on écrit alors lim =∞ . x x 0 x
+

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•

sur ]-∞; 0[, lim x0 1 1 =−∞ , on écrit alors lim =−∞ . x x 0 x
-

Asymptote verticale Lorsque xlim f x =∞ ou xlim f x =−∞ , la courbe représentative de f admet la droite x x d'équation x = x0 comme asymptote