Dérivée

|[pic] | |[pic] |[[pic][ |][pic][ | |[pic] |[pic] |[pic] | | Si f est polynôme ? f dérivable sur[pic] Si f est rationnelle ? f dérivable sur son ensemble de définition II Calcul de dérivée Dérivées usuelles | |Opération sur les fonctions dérivables | |Fonction |Fonction dérivée | |Fonction |Fonction dérivée | |[pic] |[pic] | |U + V |U' + V' | |[pic] |[pic] | |K × U K constante réelle |K × U' | |[pic] |[pic] | |U × V |U'V + UV' | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | | | | |[pic] |[pic] | | |

maison : Des dérivées pour vous entrainer Déterminer l’ensemble de dérivation et la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : a(x) = x + 1 x + e x b(x) = (2x-1)(3x 2 + x +1) c(x) =3x² - 5x + 2 d(x) = 13 32   x x e(x)=2e x ( x - 3) 2 1 ( ) 1 f x x   32 1 )( 2   xx xg h(x) = 2 1 3 4 x x x    i(x) = 4 2 3 x  j(x) = 4x + 1 e x + 2 Devoir maison : Des dérivées pour vous entrainer

ANNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle 1. Pente d’une droite Examinons géométriquement les droites dans le plan cartésien. La principale caractéristique qui distingue une droite d’une autre est son inclinaison, que nous appelons coefficient directeur ou pente de la droite. Un moyen naturel de mesurer la pente d’une droite est de partir de n’importe quel point ( x0 , y 0 ) et de se déplacer le long de la droite de sorte que la coordonnée de x s’accroisse d’une unité. La variation

I) Variations de fonction et signe de la dérivée 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Propriété 1 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors • si f est croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≥0 • si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≤0 • si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)=0 2) Réciproque : du signe de la dérivée au sens de variation Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors • si pour

augmente, l’intensité du besoin diminue. Principe de l’utilité marginale : « supplément d’utilité qui résulte de la consommation d’une unité supplémentaire de biens ». (= dérivée de la fonction U par rapport à x1) Utilité marginale est positive mais aussi décroissante. La dérivée seconde est négative ( dérivée de la dérivée ) ( x1, x2) -> U(x1, x2) Umx1= {draw:frame} U=x²+y^3 {text:list-item} Elles représentent ce que les consommateurs aiment ou pas. Ils vont donc émettre

Ceci est un problème d'optimisation. On utilise généralement le fait que si L est dérivable (ce qui n'est pas toujours le cas) et si L admet un maximum global en une valeur, alors la dérivée première s'annule en et que la dérivée seconde est négative. Réciproquement, si la dérivée première s'annule en et que la dérivée seconde est négative en, alors est un maximum local (et non global) de L(x1,...,xi,...,xn;θ). Il est alors nécessaire de vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum global. La vraisemblance

f est la fonction racine carrée. L’expression de la dérivée de la fonction f est f ' ( x ) = 2 x Faux La courbe Cf admet une tangente 1 parallèle à la droite d’équation y = x − . 2 f ( x) = x − 1 2 + 1 x représentative. . La courbe Cf admet une tangente parallèle à la droite d’équation définie sur ] 0 ; + ∞ [ par 1 3 On note C f sa courbe y = 2 − 2 x au point d’abscisse 3 . L’expression de la dérivée de la x2 − 1 fonction f est f ' ( x ) = 2 x 3 est

est définie et dérivable sur IR et donc sur [0; 100] . On a pour tout x ∈ [0; 100] : B ' ( x ) = −0,05 × 2 x + 5 = −0,1x + 5 J’étudie le signe de la dérivée : C’est une dérivée du type ax + b , l’étude du signe a été vue en seconde. Je cherche où la dérivée s’annule. On a : − 0,1x + 5 = 0 pour x = 50 . Voici le tableau de signes de la dérivée : x Signe de 0 + 50 0 – 100 B ' (x ) (Pour mettre les signes – et +, j’ai utilisé la règle vue en seconde, à droite du « zéro », je mets

l'équation ln x = 1 est notée e (e ≈ 2,718 ). • Propriétés algébriques ∀a > 0 ∀b > 0 ∀r ∈ Q ln (ab) = ln a + ln b • Convexité ; ln (a r ) = rln a ; ln a b = ln a − lnb . La fonction ln est concave sur ]0,+∞[, ce qui entraîne : ∀x > −1 ln (1 + x) x . La dérivée en x = 1 étant égale à 1, on a aussi : ln (1 + x) ∼ x . 0 II Fonction exponentielle • Définition et graphe C'est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est définie sur R, à valeurs dans ]0,+∞[, strictement croissante. Elle est notée exp

2 : Quelques notions de la géométrie analytique Chapitre 3 : Fonctions Chapitre 4 : Fonctions (suite) Quelques propriétés de la fonction affine Chapitre 5 : Fonctions (suite), Variation, limite, continuité Chapitre 6 : Dérivée d’une fonction Chapitre 7 : Applications de la dérivée d’une fonction Chapitre 8 : Fonction exponentielle Chapitre 9 : Fonction logarithmique Chapitre 10 : Asymptote d’une courbe 1 Chapitre 1 Rappels de l’algèbre A. Les nombres réels Les nombres réels constituent l’ensemble