Dérivée

le kilogramme, la seconde, l'ampère, le kelvin, la mole et la candela. Les unités dérivées du SI sont ensuite formées des produits de puissances des unités de base, selon les relations algébriques qui définissent les grandeurs dérivées correspondantes en fonction des grandeurs de base. Quand le produit des puissances ne comprend pas de facteur numérique autre que 1, les unités dérivées sont appelées unités dérivées cohérentes. Les symboles des grandeurs sont en général formés d'une seule lettre

n’existe pas 3.4 Dérivée des fonctions 3.4.1 Dérivée en un point La tangente est la pente. On dit que t est l’approximation linéaire de f(x) au voisinage du point  taux d’accroissement de y (=f(x)) par rapport à x Définition : Soit point intérieur de D. . Si oui (cette limite existe), alors sa valeur est la dérivée en Autre notation : 3.4.2 Dérivabilité à gauche et à droite Définition : f est dérivable à en ssi. Si oui, la valeur de cette limite à donne la dérivée à  f est dérivable

2 Dérivées et dérivées partielles 2.1 Dénition de la dérivée dans le cas d'une variable 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . Contre-exemples de fonctions dérivables en un point . . . . . . . . . . Dérivée de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 32 33 Dénition des dérivées partielles dans le cas de fonctions de deux variables Sens de variation, dérivée seconde et convexité pour les fonctions d'une variable 37 Dérivées partielles

d’une parabole 18 10. Fonction exponentielle (base constante)puissance variable 19 10.1 Notion de base 19 10.2 Résolution d'une équation exponentielle 19 10.3 Formule de l'intérêt composé & intérêt continu 19 11. Fonction Logarithmique 19 12. Dérivées 21 12.1 Notions de base 21 12.2 Marche à suivre pour la résolution d'exercice 21 13. Intégrales 22 13.1 Longueur de l’arc 22 13.2 Centre de gravité de l’arc 22 13.3 Aire de la surface 22 13.4 Centre de gravité de la surface 22 13.5 Aire latérale

. . . . . 31 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2 chapitre section suivante I.1 Fonctions d’une variable réelle I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young

Si les dérivées secondes croisées d’une fonction f de n variables sont définies et continues en un point X alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes

Pour étudier une fonction : 1. On calcule la dérivée de la fonction. 2. On étudie le signe de la dérivée. 3. On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations. Exemples : *** Etudier les variations de . 1. On calcule la dérivée. Ici . 2. On étudie le signe de la dérivée : , donc f' est positive lorsque . 3. On calcule

. 3.2 Propriétes des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 10 4 Taylor avec reste primitive 11 4.1 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Notations Soit I, J, . . . des intervalles réels 1) [contenant

Transformée de Fourier dans L1(Rn) Dérivée de la transformée de Fourier Transformée de Fourier et Dérivée Proposition Soit f une fonction tel que xk f ∈ L1 pour tout k = 0, 1, ..., n. Alors F(f ) est n fois dérivable et on a (F f )(k)(ξ) = (−2πi)kF(xk f (x))(ξ) ∀k = 0, . . . , n Réciproquement, si f est de classe Cn et f (k) sont intégrables ∀k = 0, ..., n alors on a F(f (k)(x)) = (2πiξ)kF f (ξ) 22/58Transformée de Fourier Transformée de Fourier dans L1(Rn) Dérivée de la transformée de Fourier Transformée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Développement limité d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3 Dérivées partielles d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.4 Développement limité d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Extremums d'une fonction de deux variables