Dérivée

y=2x−2+2 y=2x IILa fonction dérivée ALa dérivée sur un intervalle La fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle. On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f′, qui a tout réel x associe f′(x). Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f . BLes dérivées des fonctions usuelles Soient

définie en 0, la tangente à la courbe en 0 lim h→0 h h>0 est verticale. 2. Il existe une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais elles sont différentes : f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) a une limite notée f ′ (a+ ), et lim a une limite notée f ′ (a− ), Si lim h→0 h→0 h h h0 avec f ′ (a+ ) = f ′ (a− ), f n’est pas dérivable en a. Mais f possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche, qui sont différentes. Graphiquement, la courbe de f présente un point anguleux. Exemple

Chapitre 5 Dérivation 1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( ( 2 Fonction dérivée 2.1 Définition 2.2 Tableaux 3 Applications 4 Utilisations de la fonction dérivée 4.1 Equation de la tangente à la courbe en un point x0 4.2 Variations de f et signes de f’ 1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( ( Taux d’accroissement : T(k)

I Fiche synthèse : Fonctions à plusieurs variables Dérivées partielles du 1er et du 2ème ordre : Soit f une fonction à plusieurs variables, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable x la limite lorsqu’elle existe : limx0fx,y-fx0,yx-x0 On la note ∂f∂x ou f'xx,y ; y est supposée constante. De même, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable y la limite lorsqu’elle

sont constantes quelques soient les niveaux de revenus. Fonction affine : il existe une Co consommation incompressible. La PMoyenneC dans ce cas-làs est constante et la PmC est décroissante et tend vers c. Fonction concave : la dérivée première est positive et la dérivée seconde est négative et donc les deux propensions sont décroissantes. Cette 3ème représentation serait la plus proche des hypothèses keynésiennes mais pour des raisons de commodité dans les modèles basiques on utilise plutôt la 2ème

Feuille n°3La Fonction Dérivée Exercice n° 3-1 : On considère une fonction f définie et dérivable sur R par f(x)=3. Question : Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur son intervalle de définition. Exercice n° 3-2 : On considère une fonction g définie et dérivable sur R par g(x)=−4x. Question : Déterminer la fonction dérivée de la fonction g sur son intervalle de définition. correction Exercice n° 3-3 : On considère une fonction h définie et dérivable sur R par g(x)=x4. Question

ce contexte, rien ne s'oppose à calculer le sinus ou le cosinus d'un nombre quelconque. Ces fonctions sont omniprésentes dans la description de phénomènes oscillatoires ou ondulatoires. 2. Dérivées On ne donnera ici que des indications pratiques, sans démonstration. 2.1. Qu'est-ce que c'est ? La dérivée d'une fonction f(x) est donnée par : f ( x + δ x) − f ( x) df δf = lim =lim δ x dx δ x→0 δx déf δ x →0 On peut écrire indifféremment Par exemple, si f(x) = x3 : f ( x ) = x3 f ( x + δ x) = ( x

partielles. La dérivé partielle est la dérivé d’une fonction par rapport à une variable. U= la fonction d’utilité Deux biens X et Y * U=f(X,Y) * La dérivée partielle est dU/dx et va permettre de mesurer l’impact de la variation de x sur U * (d=variation très petite de la quantité consommé de bien X) * dU/dY est l’impact d’une variation de Y sur l’utilité totale 2.1.3 Taux marginal de substitution

| |(c) y = – 0,7x – 0,4 | | Exercice 3 ( 7 points) 1. Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : (1) f(x) = x 3 – x 2 + 2x – 10 (2) g(x) = (3) h(x) = – (4) p(x) = (6x – x2)3 (5) r(x) = 2. Dresser le tableau de variation de la fonction p. Tracer soigneusement sa courbe représentative

´ UFR DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE Maˆ ıtrise d’Ing´nierie Math´matique e e ´ EQUATIONS AUX ´ ´ DERIVEES PARTIELLES Georges Koepfler 2001 - gk@math-info.univ-paris5.fr Table des mati`res e 1 Introduction 1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Notions de solution . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemples d’´quations aux d´riv´es partielles e e e 1.3.1 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Biologie. Dynamique des populations 1.3.3 Traitement des images