Cycle limite

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes. Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite l l l +∞ -∞ Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ -∞ pas

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

Chapitre II Séries Numériques La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1

de cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite Si g ou (vn) a pour limite Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes

convergente, on appelle somme de la série an +∞ la limite des sommes partielles. On note k=0 +∞ ak la somme, c’est-à-dire n ak = lim k=0 n→+∞ ak . k=0 Étudier la nature d’une série c’est déterminer si elle converge ou non. Exemples 1. La série 1 est convergente. En effet, pour tout entier naturel n 2n+1 n Sn = k=0 1 2k+1 =1− 1 2n+1 · La suite géométrique gente, et 1 2n+1 étant convergente, de limite nulle, la suite (Sn ) est conver+∞ k=0 1 = 1.

des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition des limites : « Soient f : D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient 2 (a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim

Archives  TS   DAO.01       TS.0910 - DST.01 - Corrigé Terminale S 2010-2011   EXERCICE 1 On considère dans . 1. Soit la fonction définie sur l’intervalle par : a) Déterminer les limites de en . . en 0 et a) Limite de de . sur possède . D’où ; d’où en 1. sur l’équation dans b) i) Montrer que pour tout réel , ii) Étudier le sens de variation de . c) Démontrer que l’équation une unique solution dans Soit ce réel. 2. Démontrer que pour tout réel l’équation . de

croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par un=n² a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle ]a ;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite +∞ ou diverge vers +∞ si tout intervalle ]a ;+∞[

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes