Convexité

Formule de Leibniz et coefficient du binôme 7.6 : Fonctions pathologiques 7.7 : f ( f (x)) = ax + b 7.8 : Fonctions convexes (sauf PTSI) 7.9 : Inégalités de convexité (sauf PTSI) 7.10 : Développements limités 7.11 : Formes indéterminées 7.12 : Développement limité d’une fonction réciproque 7.13 : Développement limité et convexité (sauf PTSI) 7.14 : Prolongements 7.15 : Synthèse : prolongement de fonction et étude de suite implicite 85 85 86 89 93 97 100 104 106 109 111 115

Petersen 1993). En excluant du référentiel l'unité k évaluée, les contraintes principales deviennent : hX ik − ∑ µ j X ij ≥0 ∀i j =1 j≠ k n ∑µ Y j≠k n j =1 j rj ≥ Yrk ∀r Tulkens (1993) propose de relâcher l'hypothèse de convexité de la frontière de production ; cette variante de DEA a été appelée Free Disposal Hull ou FDH. Ce programme linéaire qui se distingue du programme initial par 0, l'ajout de la contrainte µ j ∈{ 1} permet de déterminer s'il existe une entité qui domine

. . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Exemples de contrats dont l’´valuation ne demande pas de mod`le e e 10.4.2 March´ a terme et probabilit´ forward neutre . . . . . . . . . . . . e` e 10.4.3 Correction de convexit´ pour les contrats forwards . . . . . . . . . e 10.4.4 Correction de convexit´ lorsque les volatilit´s sont d´terministes . e e e 10.4.5 Options sur z´ro-coupon et caplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 10.5 Options sur obligations a coupons, Swaptions . . . . . . . . . . . . .

on dit que f est un C k -difféomorphisme de I sur J si et seulement si : – f est de classe C k sur I – f est bijective – f −1 est de classe C k sur J Convexité – Définitions Soit f : I → K, on dit que cette fonction est convexe si et seulement si : ∀θ ∈ [0, 1], ∀( x, y) ∈ I 2 , f (θ x + (1 − θ) y) α f ( x) + (1 − θ) f ( y) Inégalité de convexité Si f est convexe, soit λ j 0 tel que n f ∑ λjaj j=1 n ∑ λ j = 1, alors : j=1n ∑ λ j f ( a j ). j=1 Fonction convexe – Fonction concave Une fonction

(x) + f (2a − x) est constant, il vaut alors 2b. g/ Convexité Une fonction 2 fois dérivable est convexe si et seulement si la dérivée seconde est positive. Géométriquement, une courbe est convexe si et seulement si elle est au dessus de chacune de ses tangentes. Une fonction convexe a sa concavité (« l’intérieur ») tournée vers le haut et une fonction concave a sa concavité tournée vers le bas. La figure 33, ci-dessous, illustre la convexité. y B A C x Figure 33 – Une fonction convexe

. . . . . . . . . . 79 80 81 82 83 84 85 Suites numériques, dérivation, comparaison des suites Une fonction définie par une intégrale à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivation, intégration, primitives Deux inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, primitives Calcul de π 4 √ 0 tan2 x + tan x + 1 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, A compléter ! Révisions d’analyse

substituant les contrainte (7) dans les équations (6) pour obtenir l’équation y2 = h(y1, K, L) ou H(y1, y2, K, L) = 0 de la frontière des possibilités de production. Celle-ci est concave du fait de la concavité des fonctions de production (ou encore de la convexité de l’ensemble de production). On peut alors écrire le programme suivant : Max U (C1, C2) p1C1 + p2C2 ≤ p1y1 + p2y2 H(y1, y2, K, L) = 0 L’équilibre concurrentiel assure la maximisation de la valeur du PIB p1y1 + p2y2 comptetenu de la contrainte sur

prix. C’est comme si on fixait une norme d’´quit´, c a e e e on modifiait les dotations initiales puis on laissait faire le march´. Le second th´or`me e e e fondamental du bien-ˆtre s’´nonce de ma mani`re suivante. Sous certaines hypoth`se e e e e (convexit´ des pr´f´rences), il existe toujours un ensemble de prix tel que toute allocation e ee Pareto-efficiente soit un ´quilibre de march´ pour des dotations initiales ad´quates. La e e e port´e de ce th´or`me est que les probl`mes de distribution et d’efficacit´

TMSTLK = Figure 1 Figure 2 la Δ K/ Δ L ne change pas La Δ L augmente, donc Δ K/ Δ L diminue en valeur absolue La convexité des courbes d’indifférence indique que l’analyse économique s’intéresse normalement à l’arbitrage entre deux facteurs de production imparfaitement substituables. En effet, si K et L sont parfaitement substituables, la courbe d’indifférence est alors

exprimé en termes de changement de la valeur économique en utilisant un choc parallèle de taux d’intérêt qui est censé traduire : o Un choc inhabituel dans un environnement de crise, capable d´identifier les options cachées et les effets de la convexité pour révéler les risques sous-jacents ; o D´un usage simple adapté aux différents modèles utilisés et aux différents pays. Le choc de taux d´intérêt proposé, pour les monnaies du groupe des dix est : Un choc parallèle de 200 points