Convexité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

l'on veut comparer. Exemple : Classer A, B, C, D, E, F, G X2 A G B E C D X1 F Proposition : Les préférences d'un consommateur sont entièrement caractérisées par la donnée de toutes ses courbes d'indifférence. II - C - 2d Hypothèses de convexité des courbes d‛indifférence Hypothèse : Les préférences des consommateurs sont telles que toutes leurs courbes d‛indifférence sont convexes. X2 X2 X1 Exemple Contre-Exemple X1 II - C - 3a Pente de la courbe d‛indifférence et TMS Jusqu‛à

espace de Hilbert. Espace de Banach des fonctions à variation bornée et intégrale de Stieltjes. Fonctionnelles linéaires. Théorème de représentation de Riesz. Théorèmes de Hahn-Banach, de la borne uniforme et du graphe fermé. Topologies faibles. Convexité : théorèmes de séparation, inégalité de Jensen, théorème de Krein-Milman. MAT 748 3 cr. Sujets choisis en analyse (3-0-6) Objectif : se familiariser avec un domaine de l’analyse privilégié par des travaux de recherche récents. Contenu :

contre les draps, agitation). Par la suite, on observera des marques de grattage. Le bébé présente des plaques rouges qui apparaissent entre 3 mois et 2 ans dont la prédominance se situe au niveau du visage ; l’eczéma siège avant tout sur les convexités du visage, on le trouve aussi sur le front et le cou. Il peut s’étendre au cuir chevelu, débordé sur le thorax et parfois même sur les plis de flexions (plus rare). De plus en plus de nourrissons en souffrent, surtout dans les

financièrement les activités scientifiques de Galilée. L’expérience a lieu à Venise car la Sérénissime est la capitale européenne du travail du verre. La particularité de la lunette de Galilée est qu’elle contient deux lentilles, une de faible convexité et l’autre de forte concavité. Galilée taille et polit lui-même ses lentilles : cela lui permet de grossir les objets de neuf fois leur taille, contrairement à toutes celles précédemment fabriquées par les lunetiers qui grossissaient deux ou trois

. . . . . . . . 1.8.7 La dominance au sens de Geoffrion . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 La surface de compromis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 La convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 La représentation de la surface de compromis . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Les méthodes de résolution des problèmes d’optimisation multiobjectif 1.13 Bibliographie commentée .

.................................................43 Figure 58 : Surépaisseur excessive ...............................................................................................................................................44 Figure 59 : Convexité excessive....................................................................................................................................................44 Figure 60 : Soudure d'angle d'épaisseur supérieure à l'épaisseur nominale ...........

- Les courbes ne se coupent pas car les préférences du consommateur sont supposées être transitives. - Les courbes sont convexes car le taux marginal de substitution entre les Biens est lui même décroissant. D’1 pt de vue éco, l’hypothèse de convexité des préférences du consommateur renvoie au constat qu’en règle générale 1 consommateur préfère 1 consommation diversifiée à 1 consommation spécialisée si il en a la possibilités. (Voir courbe 2). C) Le taux marginal de substitution (TMS) entre

absurde car cela contredit la densité de A. Si Vect(A) est de dimension n, on peut alors considérer (e1 , . . . , en ) une base de E formée d’éléments de A. Puisque 0 ∈ A, pour tout x ∈ A, on remarque : ∀λ ∈ R− , −λx ∈ A (car sinon, par / / convexité, 0 ∈ A). Par convexité de A : ∀λ1 , . . . , λn 0, λ1 + · · · + λn = 1 ⇒ λ1 e1 + · · · + λn en ∈ A et donc : ∀λ ∈ R− , ∀λ1 , . . . , λn 0, λ1 + · · · + λn = 1 ⇒ λ(λ1 e1 + · · · + λn en ) ∈ A. / Ainsi ∀µ1 , . . . , µn 0, µ1 e1 + · · · + µn en ∈ A. / Or la partie

courbe, le changement de valeur d’un e e portefeuille est bien captur´ par sa duration (la moyenne des durations de e chaque produit qui le compose pond´r´e des valeurs). Cependant pour des ee shifts plus importants on doit prendre en consid´ration la convexit´. La fige e ure suivante illustre pourquoi. On repr´sente la valeur de deux portefeuilles, e A et B en fonction de la taille du shift ∆r. Les deux courbes sont tangentes en 0 ce qui signifie qu’elles ont la mˆme duration. Mais pour des shifts e important