Comparaison série-intégrale

n , u n = sin(π n 2 + 1). (−1) n . α n +1 1. Montrer que la série numérique de terme général u n est convergente et que: f/ Soient α > 0 et la suite numérique u n définie par u n = ∑ un = n ≥0 1 1 ∫ 1 + tα . 0 n En déduire : (-1) ∑ n + 1 = ln2, n ≥0 (-1) n π ∑ 2n + 1 = 4 , n ≥0 π (-1) n 1 ∑ 3n + 1 = 3 (ln 2 + 3 ). n ≥0 Commentaire : Cet exercice a pour objectif d’étudier une série numérique alternée. Grâce à une expression de sa somme, on retrouve

un → ∈ » + . Montrer que si convergente et que si > 1 , conclure. ∑u ∑u n est n est divergente. Observer que, lorsque = 1 , on ne peut rien Exercice 5 Soit (un ) une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la série Montrer que nun → 0 . ∑u n ≥0 n converge. Exercice 6 Soit (un ) une suite de réels positifs et vn = nature. un . Montrer que 1 + un ∑u n et ∑v n sont de même Exercice 7 Soit (un ) une suite de réels strictement

Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC 2008-2009 cours no 2 : Intégrales généralisées Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions

Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices Sylvie Guerre-Delabrière Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie Table des matières 1 Quelques éléments de logique 1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . 1.2 Implications [A ⇒ B] et équivalences [A ⇐⇒ B] 1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . 1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n √ √ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que n→∞ et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient un ∼+∞ et la série est donc divergente. 5. En

entier naturel non nul n, S fn 1 on obtient S = +∞. puis On a montré que sup f , f ∈ E \ {0} f 1 = +∞ et donc 1 fn fn = 2(n + 1). Quand n tend vers +∞, 1 n’est pas équivalente à . EXERCICE 2 : continuité d’une fonction définie par une intégrale 1. Soient I et J deux intervalles de R puis g : I×J → R une application de I × J dans R. Si (x, t) → g(x, t) • pour tout x de I, l’application t → g(x, t) est continue par morceaux sur J, • pour tout t de J, l’application x → g(x, t) est continue

libres : les contraintes en poésie. La Poésie et ses messages. L’engagement en poésie. - « Ce siècle avait deux ans », 1 - « Lorsque l’enfant paraît », 19 Objet(s) d’étude, perspectives et orientations principales (problématique retenue) Œuvre intégrale : Feuilles d’Automne de Victor Hugo - « Madame, autour de vous », 24 - « Pour les pauvres », 32 - Baudelaire, Fleurs du Mal, « Harmonie du soir » - Apollinaire, Calligrammes, « La cravate et la montre » Hugo, extrait de la Préface des Feuilles

valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme général est la somme des premiers termes d’une autre suite. • Toute suite numérique peut être interprétée comme une série. En effet, si (an )

SEQUENCE 3 OBJET D’ÉTUDE : Théâtre : texte et représentation Une œuvre intégrale : Koltès : Roberto Zucco (Les éditions de minuit 1988) Problématique : Comment un dramaturge parvient-il à écrire, à partir d’un fait divers, une œuvre dramatique universelle ? Lectures analytiques : Texte 1 : tableau 1  : L’évasion. Est-ce une « scène » d’exposition ? Texte 2 : tableau 6 : Métro. Portrait de deux personnages dans un labyrinthe Texte 3 : tableau 8 : Juste avant de mourir :

Lecture des œuvres Le 18 Brumaire de Louis-Napoléon BONAPARTE Création d’une fiche d’exemples Partie 2 Chapitre 2 Calcul différentiel et intégral 1 Dérivation des fonctions à valeurs réelles 2 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles Partie 2 Chapitre 3 Thermodynamique Chapitre 4 Electromagnétisme Partie 2 Chapitre 2 (suite) Calcul différentiel et intégral 3 Intégration et dérivation 4 Approximation Partie 2 Chapitre 1 Mécanique Partie 1 Chapitre 1 Lecture de la classification périodique