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2634 - Les logarithmes
Généralités Loi des logarithmes La réduction d’expressions logarithmiques à l’aide des propriétés des logarithmes

Généralités
Un logarithme est l’ exposant d’une base. Le logarithme répond à la question suivante: quel doit être l’exposant c pour que a = b c ?

Attention : Une base doit être positive . De plus, une base ne peut pas être représentée ni par zéro, ni par 1 , mais elle peut l’être par un nombre décimal entre les deux ou tout autre nombre rationnel positif . Exemple 1: Log 25 625 = 2 parce que 25 2 = 625 Exemple 2 : Log 2 8 = 3 parce que 2 3 = 8 Exemple 3 : Nous sommes à la recherche d’un exposant pour l’expression suivante : 216 = 6 c Quelle est la valeur de l’exposant c ? On utilise la définition du logarithme pour le trouver. Nous savons que log 6 216 = c. Il suffit d’utiliser la calculatrice et d’exécuter :

De cette manière, nous obtenons le chiffre 3. On peut vérifier que 6 3 nous donne bien 216. Remarques importantes : Par convention, lorsque la base du logarithme est 10 , on ne l’écrit tout simplement pas : log 10 a = log a La base naturelle est notée e ; c’est un nombre irrationnel qui est égal à environ 2,718 281 828… Le logarithme de base e , appelé logarithme naturel ou népérien, s’écrit par convention ln : log Enfin, mentionnons que d’un point de vue fonctionnel, la fonction logarithmique ea = ln a .

est la réciproque de la fonction exponentielle

Exemple 5 : Soit la fonction exponentielle suivante : y = 5 x . Pour trouver la réciproque, on inverse le x et le y, puis on isole le y. On obtient alors : x=5y y = log 5 x Pour en savoir plus sur la fonction logarithmique, cliquer ici .

Loi des logarithmes
Les expressions logarithmiques possèdent plusieurs propriétés qui leur sont particulières. Ces propriétés sont souvent appelées lois des logarithmes . On considère habituellement qu'elles