TS. Correction - Révision du premier semestre
E X 1 : ( 7 points )

♣

→ →
− −
Le plan est rapporté au repère orthonormal O, u , v . Unité graphique : 3 cm

À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe : z′ =

(3 + 4i) z + 5 z
6
C

1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives z A = 1 + 2i, z B = 1 et zC = 3i.

N
Déterminer les affixes des points A′ , B′ , C′ images respectives de A, B, C par f .
Placer les points A, B, C, A′ , B′ , C′ .
(3 + 4i) (1 + 2i) + 5 (1 − 2i) −5 + 10i + 5 − 10i z A′ =
=
=0
6
6
(3 + 4i) (1) + 5 (1) 3 + 4i + 5 4 + 2i
=
= z B′ =
6
6
3
C′
(D)
(3 + 4i) (3i) + 5 (−3i) −12 + 9i − 15i
N′
=
= −2 − i z C′ =
6
6
2. On pose z = x + iy (avec x et y réels).
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ′ en fonction de x et y.
(3 + 4i) x + iy + 5 x − iy

3x − 4y + i 4x + 3y + 5x − 5iy

A

A′

B

B′

4x − 2y
2x − y
+i
6
6
3
3

x ′ = 4x − 2y

′
′
′
3
avec z = x + iy par identification des parties réelles et imaginaires, j’obtiens :
 ′ 2x − y
y =
3
1
3. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y = x.
2
Tracer (D) . Quelle remarque peut-on faire ?

x = 4x − 2y

3x = 4x − 2y
1
3
L’affixe z = x + i y d’un point invariant vérifie z ′ = z ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ y = x
2x − y

2
3y = 2x − y
y =
3
1 l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y = x.
2
On remarque que les points A′ , B′ , C′ appartiennent à la droite (D). z′ =

=

=

4. Soit M un point quelconque du plan et M ′ son image par f . Montrer que M ′ appartient à la droite (D).
4x − 2y
1
2x − y
2x − y 1
4x − 2y
= x ′ donc M ′ appartient à la droite (D).
+i
de M ′ vérifie y ′ =
= ×
3
3
3
2
3
2 z −z z′ − z z′ − z z + z
=
+i
.En déduire que le nombre est réel.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe z : zA 6
3
zA