Exercice. Soit A, B et C trois points non alignés.
3
Les points E, F et G sont tels que E symétrique de B par rapport à C, AF = 2 AC et BG = −2 BA.
Le point E appartient-il à la droite (FG) ?
1re méthode : Analytiquement
•

On se place dans le repère A; AB , AC . on en déduit directement que A(0; 0) ; B(1; 0) et C(0; 1)
→

→

E

E symétrique de B par rapport à C d’où CE = BC
A E = AC + CE = AC + BA + AC = −1 AB + 2 AC donc E(−1; 2)
3

F
C

3

A F = 2 AC = 0 AB + 2 AC donc F 0; 32

→

•

BG = −2 BA
A G = AB + BG = AB − 2 BA = 3 AB + 0 AC donc G(3; 0)

EF

0 − (−1)
3
−2
2

EF

1
1
−2

et EG

et EG

A

B

G

3 − (−1)
0−2

4
−2

1
× 4 = −2 + 2 = 0
2
donc les vecteurs EF et EG sont colinéaires et le point E appartient à la droite (FG) .
1 × (−2) +

2e méthode : Vectoriellement
FE = FA + AC + CE
3
= − AC + AC + BC car AF
2
3
= − AC + AC + BA + AC
2
1
= −AB + AC
2

3
= AC et CE = B C
2

FG = FA + AB + BG
3
= − AC + AB − 2 BA
2
3
= 3 AB − AC
2
1
= −3 −AB + AC
2

donc les vecteurs FE et FG sont colinéaires et le point E appartient à la droite (FG) .

car AF =

3
AC et B G = −2 BA
2