Bac Scientifique M´tropole - Session 2010 e
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´cialit´ : e e Dur´e de l’´preuve : 4 heures - Coefficient 7 e e Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de sp´cialit´ : e e Dur´e de l’´preuve : 4 heures - Coefficient 9 e e Les calculatrices ´lectroniques de poche sont autoris´es, conform´ment a la r´glementation en vigueur. e e e ` e Le sujet est compos´ de 4 exercices ind´pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. e e Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´sultat pr´c´demment donn´ dans le texte pour aborder les questions e e e e suivantes, a condition de l’indiquer clairement sur la copie. ` Le candidat est invit´ a faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆme incompl`te ou non fructueuse, qu’il aura e` e e d´velopp´e. Il est rappel´ que la qualit´ de la r´daction, la clart´ et la pr´cision des raisonnements entreront pour une part e e e e e e e importante dans l’appr´ciation des copies. e Le sujet comporte une annexe a rendre avec la copie. ` Ce sujet n´cessite une feuille de papier millim´tr´e. e e e

Exercice 1 - Commun ` tous les candidats (6 points) a Les deux parties de cet exercice sont ind´pendantes. e

Partie A

On consid`re l’´quation diff´rentielle ÔE Õ : e e e

y½ y

e ¡x . xe¡x est une solution de

1. Montrer que la fonction u d´finie sur l’ensemble des nombres r´els R par uÔxÕ e e l’´quation diff´rentielle ÔE Õ. e e 2. On consid`re l’´quation diff´rentielle ÔE ½ Õ : e e e y½ y

0. R´soudre l’´quation diff´rentielle ÔE ½ Õ. e e e

3. Soit v une fonction d´finie et d´rivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l’´quation e e e diff´rentielle ÔE Õ si et seulement si la fonction v ¡ u est solution de l’´quation diff´rentielle ÔE ½ Õ. e e e 4. En d´duire toutes les solutions de l’´quation diff´rentielle ÔE Õ. e e e 5. D´terminer l’unique solution g de l’´quation diff´rentielle ÔE Õ telle que g Ô0Õ e e e 2. u Ôx kÕe¡x o` k est un