Voisinage

pierre. Quand on lève les yeux vers les crêtes, on s’arrête ébloui et stupéfait. Elles paraissent rouges et dentelées comme des festons de corail, car tous les sommets sont en porphyre ; et le ciel au-dessus semble violet, lilas, décoloré, par le voisinage de ces étranges montagnes. Plus bas le granit est gris scintillant, et sous nos pieds il semble râpé, broyé ; nous marchons sur de la poudre luisante. A notre droite, dans une longue et tortueuse ornière, un torrent gronde et court ; et on chancelle

définitions. DÉFINITION 1 1. Un point singulier X0 d’un champ de vecteurs Ẋ = v(X) défini sur un ouvert U est stable si, pour tout voisinage V de x0, il existe un voisinage W de x0 tel que si X1 2 W, alors �t(X1) = X(X1, t) 2 V pour t � 0. 2. Un point singulier X0 d’un champ de vecteurs Ẋ = v(X) défini sur un ouvert U est asymptotiquement stable s’il existe un voisinage V de X0 tel que, pour tout X1 2 V alors, limt!+1 � t(X1) = X0. 3. Soit X0 un point singulier asymptotiquement stable d’un champ de

− f (a). Alors lim ε(h) = 0. En exprimant f en fonction de ε, on en d´duit qu’il existe une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle en 0 telle que e e pour h dans un voisinage de 0, f (a + h) = f (a) + hf (a) + hε(h). – R´ciproquement si il existe L ∈ et une fonction ε d´finie dans un voisinage de 0 de limite nulle e e en 0 telle que pour h dans un voisinage de 0, f (a + h) = f (a) + Lh + hε(h). On en d´duit que e f (a + h) − f (a) − L = ε(h) − → 0, − h→0 h d’o` f est d´rivable

0. 1.2 Soit a ∈ R, on veut savoir comment se comporte f (x) quand x se rapproche de a. Pour cela, il faut que la fonction f soit d´finie au voisinage de a, c’est ` dire sur un intervalle ouvert e a du type ]a − α, a + α[ avec α > 0, sauf peut-ˆtre en a. e a) limite finie en a ∈ R. Limites en a (a ∈ R) Soit f une fonction f d´finie au voisinage de a, sauf peut-ˆtre en a et e e D´finition 1 On dit que f tend vers quand x tend vers a si on peut rendre |f (x) − | “aussi petit que e l’on veut”

Ana Alexandre Fernandes…………………………………………………………77 Du bon voisinage aux solidarités de proximité Serge Clément, Jean Mantovani, Monique Membrado…………………………....105 L’entourage : un jeu complexe de relations Dominique Argoud………………………………………………………………..139 Les solidarités de voisinage au féminin, des rôles entre proximité et distance

′ (0) = −1. On obtient alors le système suivant : λ+µ =2 −λ + 4µ = −2 ⇔ λ =2 . µ =0 La fonction f est alors : f (x) = xe−x + 2e−x ⇔ f (x) = (x + 2)e−x . B. Étude locale d’une fonction 1. Le développement limité à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction exponentielle est : et = 1 + t + t2 t3 + + t3 ε(t) avec lim ε(t) = 0. t→0 2 6 En posant t = −x, on obtient : e−x = 1 − x + x2 x3 − + x3 ε(x) avec lim ε(x) = 0. x→0 2 6 1 Par produit avec x − 2, il vient

siège de l’OTAN, et Moscou) Accords de coopération avec l’UE (Bruxelles et Moscou) II – Deux puissances antagonistes A. Les politiques européennes dans le voisinage russe Les élargissements de l’UE en 2004 et 2007 L’élargissement de l’OTAN : pays qui ont intégré l’OTAN en 2004 Pays concernés par la Politique européenne de voisinage B. La politique russe dans son « étranger proche » L’instrumentalisation des conflits Les interventions militaires L’enjeu ukrainien III – Deux diplomaties

entière au voisinage de 0. On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction définie au voisinage d’un point x0 : M r A  N -E  28 2.4 Séries de Taylor Existe-il une suite (an )n et r > 0 tels que l’on ait f (x) = ∞ n=0 an (x − x0 )n pour x ∈]x0 − r, x0 + r[ ? Dans l’affirmatif, on dira que f est développable en série entière au voisinage de x0 . Proposition 2.4.1 Pour qu’une fonction f soit développable en série entière au voisinage d’un point

développable en série entière au voisinage de 0. On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction définie au voisinage d’un point x0 : M r A  N -E . 30 Existe-il une suite (an ) et r > 0 tels que l’on ait f (x) = ∞ n=0 an (x − x0 )n , ∀x ∈]x0 − r, x0 + r[ ? Dans l’affirmatif, on dira que f est développable en série entière au voisinage de x0 . Proposition 2.4.1 Pour qu’une fonction f soit développable en série entière au voisinage d’un point x0 ∈ R, il est

si et seulement si f C et f : U → C. est développable en série entière au voisinage de chaque point de U . Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U.  Toute série entière est analytique