chapitre_LyapunovChapitre 1
Théorie de la stabilité de
Lyapunov
1.1 Introduction
Nous avons vu qu’un point singulier pour lequel la matrice du linéarisé a des valeurs propres à partie réelle négative est asymptotiquement stable. Si certaines des valeurs propres ont des parties réelles positives, le point est in- stable. Mais qu’en est-il dans les autres cas ? Beaucoup de situations peuvent se produire et il n’existe pas de méthode générale permettant de conclure dans tous les cas, mais …afficher plus de contenu…

Le point n’est donc pas asymptotiquement stable.
1.2. L’origine dans le système ẋ = -y- x(x2 + y
2),
ẏ = x- y(x2 + y
2),
est asymptotiquement stable. En effet, il est aisé de vérifier que ṙ = -r
3. Dans ce cas-ci on peut intégrer explicitement ṙ = -r
3 et vérifier que limt!+1 = 0.
Ceci, c’est l’approche analytique. Il y a une deuxième manière, plus géométrique de conclure. Cette deuxième se généralisera en la méthode de Lyapunov.
Considérons la fonction F(x, y) = x
2 + y
2 = r
2. Ses courbes de niveau sont des cercles concentriques autour de l’origine. Regardons comment est dirigé le champ en un point d’une telle courbe. On voit qu’il est dirigé vers l’intérieur de la courbe. En effet, considérons d dtF(x(t), y(t)). Par la règle de dérivation …afficher plus de contenu…

Cette approche géométrique nous a évité d’intégrer une équation différen- tielle. Aussi, on voit que l’expression exacte de la fonction F(x, y) n’a pas d’im- portance tant que ses courbes de niveau sont concentriques autour de l’origine.
De plus, l’idée peut fonctionner en dimension supérieure. Cette approche est précisément la méthode de Lyapunov.
THÉORÈME 1 On considère un champ de vecteurs v(X) de classe C
1 défini sur un ouvert U de Rn et X0 un point singulier de v. Soit V un voisinage de X0 et F : V ! R une fonction de classe C1 telle que
– F ait un minimum local strict en X0 ;
– Ḟ = hrF(X), v(X)i  0 pour tout X 2 V .
Alors, X0 est stable. Si, de plus Ḟ < 0 pour X 2 V\{X0}, alors X0 est