Variable aléatoire réelle

des résultats possibles (éventualités) d'une expérience aléatoire. Un évènement est une partie de l'univers Ω. Un événement élémentaire est une partie de Ω, comportant un et un seul élément. ∅ est l'événement impossible A ∪ B est l'événement "A ou B" A ∩ B est l'événement "A et B" Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints). On note Α l'événement contraire de A. Ω est l'événement certain élémentaire {ω } un nombre réel p tel que : Propriétés • Pour tout événement A, • Si

I : PROBABILITES : RECAPITULATIF NOTIONS DE PREMIERE A. PROBABILITES 1. Vocabulaire Expérience aléatoire : expérience , pour cette partie, à un nombre fini de résultats possibles, tous bien définis, dont on ne peut prévoir l’issue à la suite d’une réalisation de celle-ci. Notation : () Univers d’une expérience aléatoire : ensemble de ses résultats possibles Si e1, e2, …. , en sont ses n résultats possibles, l’univers sera noté  ou E : ={e1, e2, … en } Eventualité : un résultat possible

l’Identique 3.0 non transposé. Table des matières Table des matières iii 1 Expériences aléatoires et probabilités 1 2 Conditionnement et indépendance 11 3 Variables aléatoires discrètes 3.1 Loi, fonction de répartition, espérance et 3.2 Lois discrètes classiques . . . . . . . . . 3.3 Variable fonction d’une autre variable . 3.4 Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . 25 25 32 36 41 4 Variables aléatoires absolument continues 4.1 Densité, fonction de répartition et moments . . . . . .

binomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq. Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9). Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est ici puisque les variables X1 , . . . , Xn sont indépendantes. La propriété suivante découle d’ailleurs du même raisonnement : 

normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce : fluctuation des ventes, industrie : diamètres

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt

SÉRIES TEMPORELLES Patrick Sillard 5 janvier 2007 TABLE DES MATIÈRES Table des matières I Rappels de probabilités 1. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . 2. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . .

ZA a. Z est un nombre réel. On pose Z = b. Le triangle ABC est isocèle en A. c. Le triangle ABC est rectangle en A. d. Le point M d’affixe Z appartient à la médiatrice du segment [BC]. Baccalauréat S A. P. M. E. P. E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 6 points Les parties A, B et C sont indépendantes Partie A Restitution organisée des connaissances L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale

. . . . . . . . 56 56 57 58 60 61 12 Probabilités 1/ Introduction . . . . . . . . . . . . . 2/ Vocabulaire des évènements . . . . 3/ Calcul des probabilités . . . . . . . 4/ Paramètres d’une loi de probabilité 5/ Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer